A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Monthly Archive: Janeiro 2012

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Simplifique as expressões

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 23

Enunciado

Simplifique as expressões:

  • $A=\ln e+\ln {{e}^{2}}+\ln {{e}^{3}}$
  • $B=\ln e-\ln \left( \frac{1}{e} \right)$
  • $C=\ln \left( e\sqrt{2} \right)$
  • $D=\ln {{e}^{2}}-2\ln e$
  • $E=\ln 3+\ln \left( 27e \right)-\ln \left( 9{{e}^{3}} \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Averigue se as funções são idênticas

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 22

Enunciado

Em cada uma das alíneas, averigue se as funções $f$ e $g$ são idênticas.

Represente graficamente os pares de funções.

  1. $f(x)=\log \left( \frac{x}{x-2} \right)$
    $g(x)=\log x-\log (x-2)$
  2. $f(x)=\log \left( x(x-2) \right)$
    $g(x)=\log x+\log (x+2)$
  3. $f(x)=\log {{x}^{2}}$
    $g(x)=2\log x$
  4. $f(x)=\log {{x}^{3}}$
    $g(x)=3\log x$
  5. $f(x)=\log \sqrt{x}$
    $g(x)=\frac{1}{2}\log x$

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Aplicando / 9.º Ano / Os números reais

Considera as seguintes inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 113 Ex.7

Enunciado

Considera as seguintes inequações:

$$\begin{matrix}
6x-2<0 & {} & -4x\ge -2 & {} & -3x+2>1  \\
\end{matrix}$$

  1. Resolve cada uma delas, apresentando a solução na forma de intervalo.
  2. Os números $\frac{1}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ são soluções comuns às três inequações? Justifica.

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Os números reais / Aplicando / 9.º Ano

Representa em extensão os seguintes conjuntos

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 107 Ex.35

Enunciado

Representa em extensão os seguintes conjuntos:

  1. $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}$
  2. $B=\left\{ x\in \mathbb{N}:4x-9\le x<2x+1 \right\}$
  3. $C=\left\{ x\in \mathbb{R}:3<\frac{x}{4}\vee 2(x-3)<6x \right\}$

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Aplicando / 9.º Ano / Os números reais

Resolve as inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 105 Ex.33

Enunciado

Resolve as inequações:

  1. $-2x-3>3x-13$
  2. $3(x+2)<5(1+x)$
  3. $5(x+4)>2x$
  4. $12x-(x-1)\ge 7x$
  5. $5(1+3x)+\frac{1}{2}>5x$
  6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x-1)>2x+1$
  7. $\frac{y+3}{6}\le 2-\frac{4-3y}{2}$
  8. $\frac{7x-3}{4}-\frac{9x-4}{8}>0$
  9. ${{(3+x)}^{2}}>{{x}^{2}}-1+7x$

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Aplicando / 9.º Ano / Os números reais

Ficha de Trabalho

9.º Ano: Os números reais; Inequações

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Os números reais; Inequações.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

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12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando

O tom de uma nota musical

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 4

Enunciado

O tom de uma nota musical é determinado pela frequência da vibração que a gerou.

Usando os valores a tabela:

N.º de oitavas acima do Dó médio ($n$) 0 1 2 3 4
Frequência em Hertz ($f$) 263 526 1052 2104 4208
  1. Mostre que a sequência das frequências das oitavas acima do Dó médio do piano são valores tais que o quociente de dois consecutivos é constante.
  2. Escreva a expressão que define $f$ em função de $n$.
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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Propagação de uma doença

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 4

Enunciado

A propagação de uma certa doença segue um crescimento exponencial dado, em função do tempo, pela expressão: $$N={{e}^{0,77\,t}}+6$$ em que $N$ representa o número de pessoas contaminadas e $t$ o número de anos decorridos desde o começo de 1983, início da contagem do tempo ($t=0$).

  1. Determine o número de pessoas que estariam contagiadas no início de 1980 e o que é previsível registar-se no começo do ano de 1996, supondo que este modelo continua válido.
  2. Determine o
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12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas / Aplicando

Num parque de um hipermercado

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 3

Enunciado

Entre as 14 e as 15 horas param, num parque de um hipermercado, automóveis à razão de 12 automóveis por hora (0,2 automóveis por minuto). A seguinte fórmula da estatística pode ser usada para determinar a probabilidade de um carro chegar antes de decorrerem $t$ minutos, após as 14 horas: $$P(t)=1-{{e}^{-0,2\,t}}$$

  1. Qual a probabilidade de um carro chegar ao parque referido antes das 14 horas e 5 minutos?
  2. Qual a probabilidade de um carro chegar ao parque
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