A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Funções seno, co-seno e tangente

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ são as representações gráficas das funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14

Enunciado

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$

  1. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
     
  2. Resolva graficamente as inequações:
…
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

$C$ é uma semicircunferência

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13

Enunciado

$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.

[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.…

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.
 

 

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
     

  2. Determine o

…
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
     
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções reais de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real:

$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$

Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.…

Caracterize a função derivada 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Caracterize a função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9

Enunciado

Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:

  1. $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
     
  2. $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
     
  3. $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
     
  4. $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
     
  5. $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
     
  6. $f(x) = \frac{{1
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

De um função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6

Enunciado

De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:

$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$

  1. Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
     
  2. Estude a função
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Maré

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5

Enunciado

Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.

A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:

$$M(t) …

Considere a função $f$ 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
     
  2. Estude
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Dada a função $f$ 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Dada a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24

Enunciado

Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$

  1. Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
     
  2. Resolva a equação $f(x) = 1$.

Resolução >> Resolução

$$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x …

Determine as expressões designatórias das funções derivadas 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Determine as expressões designatórias das funções derivadas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23

Enunciado

  1. Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:
     
    a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$
     
    b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$
     
    c) $h:\alpha  \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$
     
    d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$
     
    e) $j:t \to \cos \left( {4
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Calcule a derivada de cada uma das funções 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule a derivada de cada uma das funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22

Enunciado

Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:

  1. $f:x \to 3 + 2\cos x$
     
  2. $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
     
  3. $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
     
  4. $i:z \to 3z\cos z$
     
  5. $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {3 +
…
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Determine

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18

Enunciado

  1. Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
     
  2. Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na
…
Calcule, se existir 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule, se existir

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17

Enunciado

Calcule, se existir:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
     
  2. $\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
     
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
     
  4. $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$

Resolução >> Resolução

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x}

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.

  1. Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3

Enunciado

Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.

A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.

Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Considere a função real de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$

  1. O gráfico seguinte representa a função co-seno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
  2. Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) –
…
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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Uma folha dobrada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 1

Enunciado

Depois de dobrada uma folha de papel retangular, o vértice A coincide com o vértice C.

Calcule o comprimento do vinco, sabendo que $\overline {AB}  = 24\,cm$ e $\overline {AD}  = 18\,cm$.

Resolução >> Resolução Ao dobrar a folha fazendo coincidir os pontos A e C, verifica-se …

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12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A diferença de potencial

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 41 Ex. 14

Enunciado

A diferença de potencial, medida em Volt, entre dois pontos de um circuito é dada por:

$$u(t) = 220\sqrt 2 \operatorname{sen} \left( {100\pi t + \frac{4}{5}\pi } \right)$$

($t$ em segundos)

  1. Mostre que $\frac{1}{{50}}$ é período da função $u$.
     
  2. Represente graficamente a função $u$.

Resolução >>…

Mostre que as funções são idênticas 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Mostre que as funções são idênticas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 36 Ex. 13

Enunciado

Mostre que a função $x \to f(x) = 2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)$ é idêntica à função $x \to g(x) = 2\operatorname{sen} \left( {4x – \frac{\pi }{2}} \right)$.

Resolução >> Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}   {f(x)}& = &{2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)} \\   {}& = …

Mostre que 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 12

Enunciado

Mostre que $$\operatorname{tg} \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\operatorname{tg} \alpha }}{{1 – {{\operatorname{tg} }^2}\alpha }}$$

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que

$$\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\operatorname{tg} \alpha  + \operatorname{tg} \beta }}{{1 – \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }}$$

temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\operatorname{tg} \left( {2\alpha …

Determine o conjunto solução da equação 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

Determine o conjunto solução da equação

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 11

Enunciado

Determine o conjunto solução da equação $\operatorname{sen} \alpha  – \cos \alpha  = \sqrt 2 $.

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que

$$\operatorname{sen} \left( {\alpha  – \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  – \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$

temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\operatorname{sen} \alpha  – \cos \alpha  …

A partir das fórmulas 0

12.º Ano / Aplicando / Funções seno, co-seno e tangente

A partir das fórmulas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 10

 

Enunciado

A partir das fórmulas correspondentes do seno e do co-seno, deduza uma fórmula para

  1. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right)$
     
  2. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  – \beta } \right)$

Resolução >> Resolução

$$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \operatorname{sen}

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