Category: Funções seno, co-seno e tangente
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14
Enunciado
As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$
- Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
- Resolva graficamente as inequações:a) $f(x) – g(x) \geqslant 0$
b) $f(x) + g(x) \geqslant 0$
c) $f(x) \times g(x) < 0$
- Indique o contradomínio da restrição da função $g$ ao intervalo $\left] {\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13
Enunciado
$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.
[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.
H é a projeção ortogonal de M sobre OC.
Existirá um ponto M tal que $\overline {AM} = \overline {MH} $?
Sugestão:
- Exprima $\overline {AM} $ e $\overline {MH}
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)
Enunciado
A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.
Recorrendo ao gráfico:
- Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
- Determine o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2,5} \frac{{f(2,5 + h) – 0,02}}{h}$$
- Determine $f'(0)$ e a equação reduzida da reta ${t_1}$.
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11
Enunciado
Na figura está representado um corredor de um museu.
Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.
- Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
- Exprima $\overline {OB} $ em função de $\alpha $.
- a) Faça $\overline {AB} = f(\alpha )$ e mostre que $$f(\alpha ) = \frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}$$b) Determine a função derivada de $f$ em
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10
Enunciado
Considere as funções reais de variável real:
$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$
Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9
Enunciado
Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:
- $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
- $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
- $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
- $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
- $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
- $f(x) = \frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}$
- $f(x) = {\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)^2}$
- $f(x) = \frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}$
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8
Enunciado
A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.
No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.
Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna máxima a área da secção da estrutura trapezoidal?
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7
Enunciado
Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.
A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em segundos.
- Em que instantes é a distância da rolha ao fundo do lago igual a 11,5 m?
- Entre que valores varia a distância da rolha ao fundo do lago?
- O
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6
Enunciado
De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:
$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$
- Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
- Estude a função $f$ quanto às concavidades e determine analiticamente as abcissas dos pontos de inflexão.
- O gráfico de $f$ contém um ponto onde a reta tangente é paralela à reta de equação
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5
Enunciado
Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.
A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:
$$M(t) = 4,5\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{6}t – \frac{{5\pi }}{3}} \right) + 7,5$$
com $t$ em horas e $M$ em metros.
- Qual o valor (exato) de $M$ às 2 horas da manhã?
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26
Enunciado
Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$
- Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
- Estude a variação de $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.
- Mostre que $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$ e conjeture os limites de $f$ em
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24
Enunciado
Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$
- Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
- Resolva a equação $f(x) = 1$.
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23
Enunciado
- Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:
a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$
b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$
c) $h:\alpha \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$
d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$
e) $j:t \to \cos \left( {4 – 3t} \right)$
- Sabendo que as funções $f$ e $g$ são deriváveis e que $g(1) = 3$, $g'(1) = 2$ e $f'(3) = 5$, determine, nos pontos indicados, o valor
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22
Enunciado
Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:
- $f:x \to 3 + 2\cos x$
- $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
- $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
- $i:z \to 3z\cos z$
- $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18
Enunciado
- Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
- Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na alínea anterior.
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Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17
Enunciado
Calcule, se existir:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
- $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
- $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$
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