Category: Funções seno, co-seno e tangente
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14
Enunciado
As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$
- Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
- Resolva graficamente as inequações:
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13
Enunciado
$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.
[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)
Enunciado
A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.
Recorrendo ao gráfico:
- Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
-
Determine o
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11
Enunciado
Na figura está representado um corredor de um museu.
Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.
- Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
- Exprima $\overline {OB} $ em função
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10
Enunciado
Considere as funções reais de variável real:
$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$
Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9
Enunciado
Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:
- $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
- $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
- $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
- $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
- $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
- $f(x) = \frac{{1
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8
Enunciado
A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.
No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.
Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7
Enunciado
Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.
A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6
Enunciado
De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:
$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$
- Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
- Estude a função
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5
Enunciado
Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.
A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:
$$M(t) …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26
Enunciado
Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$
- Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
- Estude
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 53 Ex. 24
Enunciado
Dada a função $f$ tal que $$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x + \cos x$$
- Encontre $a$ e $\alpha $ de modo que $$f(x) = a\operatorname{sen} \left( {x + \alpha } \right)$$
- Resolva a equação $f(x) = 1$.
Resolução >>
Resolução
$$f(x) = \sqrt 3 \operatorname{sen} x …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23
Enunciado
- Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:
a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$
b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$
c) $h:\alpha \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$
d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$
e) $j:t \to \cos \left( {4
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22
Enunciado
Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:
- $f:x \to 3 + 2\cos x$
- $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
- $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
- $i:z \to 3z\cos z$
- $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$
Resolução >>
Resolução
-
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x)}& = &{\left( {3 +
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18
Enunciado
- Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
- Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17
Enunciado
Calcule, se existir:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
- $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
- $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$
Resolução >>
Resolução
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x}
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4
Enunciado
Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:
$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$
$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$
Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.
- Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3
Enunciado
Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.
A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.
Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2
Enunciado
Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$
- O gráfico seguinte representa a função co-seno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
- Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) –
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 1
Enunciado
Depois de dobrada uma folha de papel retangular, o vértice A coincide com o vértice C.
Calcule o comprimento do vinco, sabendo que $\overline {AB} = 24\,cm$ e $\overline {AD} = 18\,cm$.
Resolução >>
Resolução Ao dobrar a folha fazendo coincidir os pontos A e C, verifica-se …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 41 Ex. 14
Enunciado
A diferença de potencial, medida em Volt, entre dois pontos de um circuito é dada por:
$$u(t) = 220\sqrt 2 \operatorname{sen} \left( {100\pi t + \frac{4}{5}\pi } \right)$$
($t$ em segundos)
- Mostre que $\frac{1}{{50}}$ é período da função $u$.
- Represente graficamente a função $u$.
Resolução >>…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 36 Ex. 13
Enunciado
Mostre que a função $x \to f(x) = 2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)$ é idêntica à função $x \to g(x) = 2\operatorname{sen} \left( {4x – \frac{\pi }{2}} \right)$.
Resolução >>
Resolução
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)}& = &{2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)} \\ {}& = …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 12
Enunciado
Mostre que $$\operatorname{tg} \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\operatorname{tg} \alpha }}{{1 – {{\operatorname{tg} }^2}\alpha }}$$
Resolução >>
Resolução
Tendo em consideração que
$$\operatorname{tg} \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta }}{{1 – \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }}$$
temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\operatorname{tg} \left( {2\alpha …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 11
Enunciado
Determine o conjunto solução da equação $\operatorname{sen} \alpha – \cos \alpha = \sqrt 2 $.
Resolução >>
Resolução
Tendo em consideração que
$$\operatorname{sen} \left( {\alpha – \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta – \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$
temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\operatorname{sen} \alpha – \cos \alpha …
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 10
Enunciado
A partir das fórmulas correspondentes do seno e do co-seno, deduza uma fórmula para
- $\operatorname{tg} \left( {\alpha + \beta } \right)$
- $\operatorname{tg} \left( {\alpha – \beta } \right)$
Resolução >>
Resolução
$$\operatorname{sen} \left( {\alpha + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen}
…
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 9
Enunciado
A partir da fórmula $$\operatorname{sen} \left( {\alpha + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$ encontre uma fórmula para:
- $\operatorname{sen} \left( {\alpha – \beta } \right)$
- $\operatorname{sen} \left( {2\alpha } \right)$
Resolução >>
Resolução
$$\operatorname{sen} \left( {\alpha + \beta }
…
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