A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Aplicando

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Partes dos gráficos de duas funções e um retângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 125 Ex. 6

Enunciado

No referencial cartesiano da figura, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um trapézio.
Sabe-se que:

  • a função f é definida por \(f\left( x \right) = x\);
  • a função g é definida por \(g\left( x \right) = 3{x^2}\);
  • o quadrilátero [
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Qual das representações gráficas corresponde à função?

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 125 Ex. 5

Enunciado

Uma função f é definida pela expressão algébrica \(f\left( x \right) = 2{x^2}\), com \(x > 0\).

  1. Sem representares graficamente esta função, indica se os pontos \(A\left( {0,\; – 4} \right)\) e \(B\left( {1,\;2} \right)\) pertencem ao gráfico de f.
  2. Qual das seguintes representações gráficas pode
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Três torneiras enchem um tanque com água

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 125 Ex. 4

Enunciado

Três torneiras idênticas, abertas completamente, enchem um tanque com água em 2 h 25 min.
Se, em vez de três, fossem cinco torneiras, quanto tempo levaríamos para encher o mesmo tanque?

Explica a tua resposta.

Resolução >> Resolução

Seja x o caudal de cada uma dessas torneiras, …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma fábrica produz tapetes

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 124 Ex. 3

Enunciado

Uma fábrica produz tapetes para a indústria automóvel.
Uma das máquinas dessa fábrica (a máquina A) produz 6 tapetes por hora e leva 12 horas a fabricar todos os tapetes encomendados por uma certa empresa.
Seja x o número de tapetes produzidos, por hora, por uma outra …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Um tijolo sobre a areia

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 124 Ex. 2

Enunciado

Quando se coloca um objeto sobre a areia, esta fica marcada devido à pressão exercida por esse objeto.
A tabela seguinte relaciona a pressão, exercida por um tijolo sobre a areia, com a área da face do tijolo que está assente na areia.

A pressão está expressa …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Partes dos gráficos de duas funções e um trapézio retângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 123 Ex. 10

Enunciado

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano de origem O, partes dos gráficos de duas funções, f e g, bem como o trapézio retângulo [ABCD].
Sabe-se que:

  • os pontos A e D pertencem ao eixo das ordenadas;
  • a função f é definida por \(f\left( x
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Quatro amigas vão alugar um apartamento

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 123 Ex. 9

Enunciado

Quatro amigas vão alugar um apartamento, no Algarve, para gozarem duas semanas de férias. O valor do aluguer será dividido igualmente pelas raparigas. Cada uma delas pagará 400 euros.

  1. Quanto pagará cada uma das raparigas se ao grupo se juntar mais uma rapariga? Mostra como chegaste à
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Cuidado com o tempo de exposição ao sol

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 122 Ex. 8

Enunciado

Quando se vai à praia, é preciso ter cuidado com o tempo de exposição ao sol, para que não se forme eritema (vermelhão na pele), devido a queimadura solar.
O tempo máximo, t, em minutos, de exposição direta da pele ao sol sem formar eritema pode …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Quando o Jorge se desloca a Lisboa

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 122 Ex. 7

Enunciado

O Jorge reside numa aldeia do norte de Portugal e vai frequentemente a Lisboa.
Quando o Jorge se desloca à velocidade média de 80 km/h, demora mais uma hora do que quando se desloca à velocidade média de 100 km/h.

Qual é a distância, em quilómetros, que …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

A Susana comprou lembranças para os amigos

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 122 Ex. 6

Enunciado

Em Moscovo, a Susana guardou alguns rublos, moeda russa, para comprar lembranças para os amigos. Decidiu que as lembranças teriam todas o mesmo preço. Verificou que o dinheiro que guardou chegava exatamente para comprar uma lembrança de 35 rublos para cada um de 18 amigos, mas ela …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O Rui foi a Londres

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 121 Ex. 5

Enunciado

O Rui foi a Londres de 5 a 10 de fevereiro.
O gráfico mostra o valor de 1 euro na moeda inglesa, a libra, durante os primeiros 15 dias do mês de fevereiro.

  1. Em que dias do mês de fevereiro, 1 euro valia 0,90 libras?
     
  2. No dia
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Partes dos gráficos de duas funções e um quadrado

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 121 Ex. 4

Enunciado

No referencial cartesiano da figura,estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um quadrado [OABC].
Sabe-se que:

  • o ponto O é a origem do referencial;
  • a função f é definida por \(f\left( x \right) = \frac{{10}}{x}\), com \(x > 0\);
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Parte do gráfico de uma função e um retângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 120 Ex. 3

Enunciado

Na figura, está representada, num referencial cartesiano de origem O, parte do gráfico da função f, bem como o retângulo [OBCD].
Sabe-se que:

  • o ponto B pertence ao eixo das ordenadas;
  • a função f é uma função de proporcionalidade inversa;
  • os pontos A
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Partes dos gráficos de duas funções, novamente

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 117 Ex. 12

Enunciado

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, f e g.
Sabe-se que:

  • a função f é uma função quadrática definida por \(f\left( x \right) = a{x^2}\), sendo a um número positivo;
  • a função g é uma função de proporcionalidade inversa;
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Partes dos gráficos de duas funções

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 117 Ex. 11

Enunciado

Na figura, estão representadas, num referencial cartesiano, partes dos gráficos de duas funções, f e g.
Sabe-se que:

  • o ponto O é a origem do referencial;
  • o gráfico da função g é uma reta que passa na origem do referencial;
  • a função f é definida por
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Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O tempo que demora a encher um tanque

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 116 Ex. 10

Enunciado

O tempo, em horas, que demora a encher um tanque é inversamente proporcional ao número de m3 de água que uma torneira debita por hora (caudal da torneira). O tanque fica cheio com 60 m3 de água.

  1. A tabela anterior relaciona o caudal da torneira
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

A viagem aos Jogos Olímpicos

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 116 Ex. 9

Enumciado

A viagem aos Jogos Olímpicos vai custar ao clube desportivo 100 euros, mas o clube quer vender as rifas para a viagem de forma a ter 80 euros de lucro. As rifas serão todas vendidas e ao mesmo preço.

A tabela seguinte representa a relação entre o …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 8

Enunciado

O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel. Admite que o número, L, de litros de gasolina que o Daniel introduz no depósito em t minutos é dado por \(L = 33\,t\).

  1. O depósito do automóvel do Daniel tem 71 litros de capacidade. Quando o
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma festa num recinto fechado

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 7

Enunciado

Uma Associação de Estudantes vai organizar uma festa num recinto fechado e resolveu, por questões de segurança, que o número de bilhetes a imprimir deveria ser menos 20% do que o número máximo de pessoas que cabem no recinto.

  1. A Associação de Estudantes decidiu organizar a festa
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Pressão exercida sobre o êmbolo de uma seringa

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 6

Enunciado

Sabemos que, se exercermos pressão sobre o êmbolo de uma seringa tapando o orifício com o dedo de modo a não deixar sair o gás, o volume diminui à medida que a pressão aumenta. À temperatura de 0 °C registaram-se os valores da tabela.

  1. O volume, à
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

O Sr. António visita o irmão

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 115 Ex. 5

Enunciado

O Sr. António percebeu que o tempo, t (em horas), gasto para ir da sua cidade para a cidade onde morava o seu irmão, pelo mesmo caminho, dependia da velocidade média, v (em km/h), do seu automóvel.

  1. Qual é a distância percorrida pelo Sr. António, quando vai
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Copia e completa a tabela

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 114 Ex. 3

Enunciado

Copia e completa a tabela, sabendo que m e n são grandezas inversamente proporcionais.

Resolução >> Resolução

Como as grandezas são inversamente proporcionais, então é constante o produto das medidas correspondentes dessas grandezas. Assim, temos:\[\begin{array}{*{20}{l}}{m \times n = 2 \times 75}& \Leftrightarrow &{m \times n = 150}\end{array}\]…

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Uma parábola e um triângulo

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 9

Enunciado

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática f e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:

  • o ponto O é a origem do referencial;
  • o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem abcissa igual a 2;
  • o
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Resolve graficamente as equações seguintes

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 8

Enunciado

Resolve graficamente as equações seguintes.

  1. \(2{x^2} + 5x – 3 = 0\)
     
  2. \( – {x^2} – 4x + 5 = 0\)
     
  3. \(4{x^2} – 2x – 2 = 0\)

Resolução >> Resolução

  1. \(2{x^2} + 5x – 3 = 0\)
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 5x – 3 = 0}& \Leftrightarrow &{\underbrace
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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 7

Enunciado

Considera as funções f e g, definidas por \(f\left( x \right) = {x^2}\) e \(g\left( x \right) = – 6x – 8\).
Determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g.

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar as abcissas dos …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 113 Ex. 6

Enunciado

No referencial cartesiano da figura estão representados os gráficos de duas funções f e g, respetivamente, a parábola de vértice \(\left( {0,\;0} \right)\) que passa pelo ponto \(A\left( { – 1,\; – 1} \right)\) e a reta DE em que \(D\left( {0,\; – 2} \right)\) e …