Category: Geometria Analítica

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Um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69

Enunciado

Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • a face [OPQR] está contida no plano xOy;
  • a face [OSVR] está contida no plano xOz;
  • a face [OSTP] está contida no plano yOz;
  • uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
  1. Mostre que o volume
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Um cone de revolução

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68

Enunciado

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

  • A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
  • [AC] e [BD] são diâmetros da base.
  • O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
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Considere num referencial ortonormado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67

Enunciado

Considere num referencial ortonormado Oxyz:

  • o ponto $A\,(10,0,0)$
  • o ponto $B\,(0,2,1)$
  • o ponto $C\,(0,5,0)$
  • a recta AB
  • a recta BC
  1. Justifique que as rectas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
     
  2. Determine uma equação vectorial
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Considere os pontos A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

  1. Mostre que a recta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
     
  2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja rectângulo em
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Uma caixa cilíndrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

  • O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
  • O centro dessa base é o
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Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64

Enunciado

Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.

As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.

  1. Prove que o ponto B tem as coordenadas
Uma recta e a sua intersecção com dois planos 0

Uma recta e a sua intersecção com dois planos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 63

Enunciado

Suponha que a recta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos P e …

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Um paralelepípedo de altura variável

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 62

Enunciado

A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
     
  • $\overline{BC}=3\,cm$
     
  • $\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $
  1. Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
     
  2. Determine o valor exacto do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
     
  3. Calcule o valor do
Dados dois pontos, A e B 0

Dados dois pontos, A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61

Enunciado

Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.

  1. Determine a intersecção da recta AB com o plano xOy.
     
  2. Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.

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  1. Como $A\,(2,-3,1)$ e $B\,(3,2,6)$, então o vector $\overrightarrow{AB}=(1,5,5)$ é
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Uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60

Enunciado

Na figura ao lado estão representados:

  • uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
  • um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

  1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
     
  2. mostre que a
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Na figura estão representados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59

Enunciado

Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
  • ponto B pertence ao plano xOz;
  • ponto C pertence ao plano xOy;
  • $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vectorial da recta BC.
  1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e
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Um prisma triangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

  • o vértice O coincide com a origem do referencial;
  • o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
  • o segmento [QR] tem comprimento 6.
  1. Indique, justificando,
Comente a afirmação 0

Comente a afirmação

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 57

Enunciado

Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   4x+5y+2z=2  \\
   \frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

Resolução >> Resolução

O vector $\vec{n}=(4,5,2)$  é um vector normal ao plano definido pela equação $4x+5y+2z=2$.

O vector $\vec{r}=(4,5,2)$  é um vector director da recta definida pela …

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Um prisma quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 56

Enunciado

Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

  1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
     
  2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e
Considere o plano α 0

Considere o plano α

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 55

Enunciado

Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.

  1. Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
     
  2. Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer recta normal ao plano dado.
    (Aproxime o resultado à décima do grau.)

Resolução >> Resolução

  1. O eixo Ox
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Um paralelepípedo [ABCODEFG]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 54

Enunciado

No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

  • $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
     
  • $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$
  1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
     
  2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vector dado que passa pelo ponto A.
     
  3. Determine, com aproximação às centésimas, a
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Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 53

Enunciado

Considere Oxyz um referencial ortonormado.

A pirâmide quadrangular regular está assente sobre um plano paralelo a xOy, tem o vértice no eixo Oz e os planos xOz e yOz são planos mediadores das arestas da base (como ilustra a figura).

Conhecem-se ainda $A\,(1,1,3)$ e a altura da …

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Mais um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 52

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, considere o cubo [ABCDEFGH] com 6 unidades de aresta.

A face [ABFE] é paralela ao plano zOy, a face [ABCD] é paralela ao plano xOy e $F\,(2,1,4)$.

  1. Mostre que o triângulo [BED] é equilátero.
     
  2. Determine uma equação cartesiana do plano que o
Três pontos: A, B e C 0

Três pontos: A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 51

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(-6,6,0)$, $B\,(-2,10,0)$ e $C\,(0,0,8)$.

  1. Determine uma equação cartesiana do plano $\alpha $ definido por A, B e C.
     
  2. Escreva equações cartesianas da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano coordenado xOz.
     
  3. Prove que $\overrightarrow{OA}$ é perpendicular a
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Outro cubo [ABCDEFGH]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 50

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respectivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das …