Category: Geometria Analítica
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69
Enunciado
Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.
Sabe-se que:
- a face [OPQR] está contida no plano xOy;
- a face [OSVR] está contida no plano xOz;
- a face [OSTP] está contida no plano yOz;
- uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
- Mostre que o volume do cubo é 27.
- Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
– o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
– o ponto Q pertence
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68
Enunciado
Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.
Sabe-se que:
- A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
- [AC] e [BD] são diâmetros da base.
- O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
- O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
- O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
- Sabendo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67
Enunciado
Considere num referencial ortonormado Oxyz:
- o ponto $A\,(10,0,0)$
- o ponto $B\,(0,2,1)$
- o ponto $C\,(0,5,0)$
- a recta AB
- a recta BC
- Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
- Determine uma equação vetorial da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano xOz.
- Calcule o volume da pirâmide [OBCA].
Exercício extraído da Prova Modelo 1999 (questão 4 da 2.ª Parte)
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66
Enunciado
Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.
- Mostre que a reta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
- Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C.
- Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65
Enunciado
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.
A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.
- O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
- O centro dessa base é o ponto de coordenadas $(3,0,3)$.
- A outra base está contida no plano de equação $y=12$.
- As bolas são esferas de raio igual a 3.
- Os diâmetros das esferas e das bases
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64
Enunciado
Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.
As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.
- Prove que o ponto B tem as coordenadas $(0,0,2\sqrt{2})$.
- Determine uma equação do plano ACB.
- Considere o plano de equação $x+y-2z=4$. Determine a sua intersecção com o plano xOy e mostre que o ponto C pertence a essa
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 63
Enunciado
Suponha que a reta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.
Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 62
Enunciado
A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:
- $\overline{AB}=4\,cm$
- $\overline{BC}=3\,cm$
- $\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $
- Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
- Determine o valor exato do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
- Calcule o valor do produto escalar $\overrightarrow{AF}\,.\,\overrightarrow{BC}$.
- Se, no referencial o.n. representado, G for o ponto $(0,0,8)$, quais são as coordenadas dos pontos médios das arestas laterais do paralelepípedo?
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61
Enunciado
Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.
- Determine a intersecção da reta AB com o plano xOy.
- Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60
Enunciado
Na figura ao lado estão representados:
- uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
- um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.
Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:
- determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
- mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
- determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59
Enunciado
Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.
Sabe-se que:
- ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
- ponto B pertence ao plano xOz;
- ponto C pertence ao plano xOy;
- $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.
- Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
- Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
- Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58
Enunciado
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:
Sabe-se que:
- o vértice O coincide com a origem do referencial;
- o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
- o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
- o segmento [QR] tem comprimento 6.
- Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
- Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
- Sabendo que a área lateral do prisma
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 57
Enunciado
Comente a afirmação:
“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x+5y+2z=2 \\
\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2} \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 56
Enunciado
Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.
Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.
- Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
- Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B.
- Calcule a área do triângulo [ADG].
- Escreva uma condição que defina o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ e caracterize-o.
- Indique dois pontos da recta HB
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 55
Enunciado
Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.
- Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
- Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer reta normal ao plano dado.
(Aproxime o resultado à décima do grau.)
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Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 54
Enunciado
No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].
- $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
- $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$
- Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
- Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vetor dado que passa pelo ponto A.
- Determine, com aproximação às centésimas, a amplitude do ângulo que o vetor $\overrightarrow{OE}$ forma com o eixo Ox.
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