Category: Geometria Analítica

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Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• a face [OPQR] está contida no plano xOy;
• a face [OSVR] está contida no plano xOz;
• a face [OSTP] está contida no plano yOz;
• uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.

1. Mostre que o volume do cubo é 27.
2. Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
   – o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
   – o ponto Q pertence

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Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

• A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
• [AC] e [BD] são diâmetros da base.
• O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
• O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
• O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.

1. Sabendo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do

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Considere num referencial ortonormado Oxyz:

• o ponto $A\,(10,0,0)$
• o ponto $B\,(0,2,1)$
• o ponto $C\,(0,5,0)$
• a recta AB
• a recta BC

1. Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
2. Determine uma equação vetorial da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano xOz.
3. Calcule o volume da pirâmide [OBCA].

Exercício extraído da Prova Modelo 1999 (questão 4 da 2.ª Parte)
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Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

1. Mostre que a reta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C.
3. Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.

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Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

• O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
• O centro dessa base é o ponto de coordenadas $(3,0,3)$.
• A outra base está contida no plano de equação $y=12$.
• As bolas são esferas de raio igual a 3.
• Os diâmetros das esferas e das bases

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Suponha que a reta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

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Na figura ao lado estão representados:

• uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
• um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
2. mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
3. determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.

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Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
• ponto B pertence ao plano xOz;
• ponto C pertence ao plano xOy;
• $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.

1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
2. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
3. Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

• o vértice O coincide com a origem do referencial;
• o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
• o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
• o segmento [QR] tem comprimento 6.

1. Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
2. Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
3. Sabendo que a área lateral do prisma

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Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x+5y+2z=2  \\
\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

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Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B.
3. Calcule a área do triângulo [ADG].
4. Escreva uma condição que defina o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ e caracterize-o.
5. Indique dois pontos da recta HB

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Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.

1. Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
2. Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer reta normal ao plano dado.
   (Aproxime o resultado à décima do grau.)

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

• $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
• $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$

1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vetor dado que passa pelo ponto A.
3. Determine, com aproximação às centésimas, a amplitude do ângulo que o vetor $\overrightarrow{OE}$ forma com o eixo Ox.

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