Category: Geometria Analítica

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Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• a face [OPQR] está contida no plano xOy;
• a face [OSVR] está contida no plano xOz;
• a face [OSTP] está contida no plano yOz;
• uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.

1. Mostre que o volume

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Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

• A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
• [AC] e [BD] são diâmetros da base.
• O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.

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Considere num referencial ortonormado Oxyz:

• o ponto $A\,(10,0,0)$
• o ponto $B\,(0,2,1)$
• o ponto $C\,(0,5,0)$
• a recta AB
• a recta BC

1. Justifique que as rectas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
    
2. Determine uma equação vectorial

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Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

1. Mostre que a recta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
    
2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja rectângulo em

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Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

• O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
• O centro dessa base é o

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Na figura ao lado estão representados:

• uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
• um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
    
2. mostre que a

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Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

• ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
• ponto B pertence ao plano xOz;
• ponto C pertence ao plano xOy;
• $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vectorial da recta BC.

1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

• o vértice O coincide com a origem do referencial;
• o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
• o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
• o segmento [QR] tem comprimento 6.

1. Indique, justificando,

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Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
    
2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

• $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
   
• $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$

1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
    
2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vector dado que passa pelo ponto A.
    
3. Determine, com aproximação às centésimas, a

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Considere Oxyz um referencial ortonormado.

A pirâmide quadrangular regular está assente sobre um plano paralelo a xOy, tem o vértice no eixo Oz e os planos xOz e yOz são planos mediadores das arestas da base (como ilustra a figura).

Conhecem-se ainda $A\,(1,1,3)$ e a altura da …

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Num referencial ortonormado do espaço, considere o cubo [ABCDEFGH] com 6 unidades de aresta.

A face [ABFE] é paralela ao plano zOy, a face [ABCD] é paralela ao plano xOy e $F\,(2,1,4)$.

1. Mostre que o triângulo [BED] é equilátero.
    
2. Determine uma equação cartesiana do plano que o

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Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respectivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das …

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No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].

$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respectivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.

1. Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
2. Escreva uma equação da recta DG.
3. Determine uma equação da recta que passa

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[ABCDEFGH] é um cubo.

Os pontos A, E, F e H têm por coordenadas, respectivamente, $(1,1,3)$, $(1,1,1)$, $(1,3,1)$ e $(-1,1,1)$.

1. Calcule as coordenadas dos restantes vértices.
    
2. Escreva uma equação do plano AEC.
    
3. Escreva equações cartesianas das rectas BF e EC.

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1. var parameters = {

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Considere no referêncial o.n. do espaço (Oxyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ABCO], assente no plano xOy.

Sabendo que a pirâmide tem 5 unidades de altura e que C (0,4,0):

1. determine $\alpha $ de modo que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano

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Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].

Sabe-se que:

• O vértice B tem coordenadas (1,0,1).
• O vértice E tem coordenadas (0,1,1).
• O vértice F pertence ao plano xOy.
• O vértice A tem coordenadas (1,1,2).

1. Mostre que a recta definida pela condição $x=y=z$ é