Category: Geometria Analítica

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Um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69

Enunciado

Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • a face [OPQR] está contida no plano xOy;
  • a face [OSVR] está contida no plano xOz;
  • a face [OSTP] está contida no plano yOz;
  • uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
  1. Mostre que o volume do cubo é 27.
  2. Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
    – o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
    – o ponto Q pertence
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Um cone de revolução

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68

Enunciado

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

  • A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
  • [AC] e [BD] são diâmetros da base.
  • O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
  • O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
  • O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
  1. Sabendo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do
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Considere num referencial ortonormado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67

Enunciado

Considere num referencial ortonormado Oxyz:

  • o ponto $A\,(10,0,0)$
  • o ponto $B\,(0,2,1)$
  • o ponto $C\,(0,5,0)$
  • a recta AB
  • a recta BC
  1. Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
  2. Determine uma equação vetorial da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano xOz.
  3. Calcule o volume da pirâmide [OBCA].

Exercício extraído da Prova Modelo 1999 (questão 4 da 2.ª Parte)
EXAME
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Considere os pontos A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

  1. Mostre que a reta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
  2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C.
  3. Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.

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Uma caixa cilíndrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

  • O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
  • O centro dessa base é o ponto de coordenadas $(3,0,3)$.
  • A outra base está contida no plano de equação $y=12$.
  • As bolas são esferas de raio igual a 3.
  • Os diâmetros das esferas e das bases
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Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64

Enunciado

Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.

As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.

  1. Prove que o ponto B tem as coordenadas $(0,0,2\sqrt{2})$.
  2. Determine uma equação do plano ACB.
  3. Considere o plano de equação $x+y-2z=4$. Determine a sua intersecção com o plano xOy e mostre que o ponto C pertence a essa
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Uma reta e a sua intersecção com dois planos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 63

Enunciado

Suponha que a reta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

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Um paralelepípedo de altura variável

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 62

Enunciado

A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
  • $\overline{BC}=3\,cm$
  • $\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $
  1. Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
  2. Determine o valor exato do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
  3. Calcule o valor do produto escalar $\overrightarrow{AF}\,.\,\overrightarrow{BC}$.
  4. Se, no referencial o.n. representado, G for o ponto $(0,0,8)$, quais são as coordenadas dos pontos médios das arestas laterais do paralelepípedo?

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Dados dois pontos, A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61

Enunciado

Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.

  1. Determine a intersecção da reta AB com o plano xOy.
  2. Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.

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Uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60

Enunciado

Na figura ao lado estão representados:

  • uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
  • um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

  1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
  2. mostre que a área do triângulo [BCD] em função de $\alpha $ é $A(\alpha )=sen\,\alpha \times (1+\cos \alpha )$;
  3. determine o valor da área do triângulo quando $\overline{OM}$ é igual a $\overline{MC}$.

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Na figura estão representados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59

Enunciado

Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
  • ponto B pertence ao plano xOz;
  • ponto C pertence ao plano xOy;
  • $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vetorial da reta BC.
  1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e que o ponto C tem coordenadas $(4,2,0)$.
  2. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo em C.
  3. Considere a superfície esférica de centro A, cuja intersecção com o plano xOy é
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Um prisma triangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

  • o vértice O coincide com a origem do referencial;
  • o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
  • o segmento [QR] tem comprimento 6.
  1. Indique, justificando, o valor do produto escalar $\overrightarrow{TS}\,.\,\overrightarrow{TR}$.
  2. Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano PQS com o plano de equação $x+y+z=5$.
  3. Sabendo que a área lateral do prisma
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Comente a afirmação

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 57

Enunciado

Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x+5y+2z=2  \\
\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

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Um prisma quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 56

Enunciado

Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

  1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
  2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B.
  3. Calcule a área do triângulo [ADG].
  4. Escreva uma condição que defina o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ e caracterize-o.
  5. Indique dois pontos da recta HB
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Considere o plano α

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 55

Enunciado

Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.

  1. Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
  2. Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer reta normal ao plano dado.
    (Aproxime o resultado à décima do grau.)

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Um paralelepípedo [ABCODEFG]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 54

Enunciado

No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

  • $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
  • $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$
  1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
  2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vetor dado que passa pelo ponto A.
  3. Determine, com aproximação às centésimas, a amplitude do ângulo que o vetor $\overrightarrow{OE}$ forma com o eixo Ox.

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