Tagged: derivadas

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$ 0

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x …

0

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …

Mostre que 0

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
     
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
     
  3. a função definida por $r\left( x
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Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações …

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Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
     
  2. Encontre a lei
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Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
     
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
     
  3. Calcule a velocidade média
Duas regras de derivação 0

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Seja $k$ constante e ${x_0} …

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Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função …

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A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …

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Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …

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Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

Resolução >> Resolução

Como o triângulo  [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ  = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …

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Um trapézio isósceles

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79

Enunciado

[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.

Os ângulos agudos medem 45º.

Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).

  1. Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
     
  2. Exprima $\overline {AD} $ e
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Dimensões de um triângulo de área máxima

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75

Enunciado

Considere a parábola definida por $y =  – {x^2} + 9$.

Supondo que a unidade adoptada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.…

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Uma trave de madeira

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 222 Ex. 73

Enunciado

Num canto de um terreno murado pretende-se delimitar com uma trave de madeira a maior área de terreno possível.

Sabendo que a trave mede 5 metros, em que posição deve ser colocada?

Resolução >> Resolução

Para $0 < x < 5$ e $0 < y < 5$, …

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Considere a função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108

Enunciado

 Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$

  1. Determine o domínio e zeros de $f$.
     
  2. Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
     
  3. Estude a monotonia da função.
     
  4. Esboce o gráfico de $f$.
     
  5. Determine uma equação da reta tangente
Estude e represente graficamente a função 0

Estude e represente graficamente a função

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 175 Ex. 107

Enunciado

Estude e represente graficamente a função seno hiperbólico definida em $\mathbb{R}$ por: $$f(x) = {\text{senh}}\,x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}$$

Resolução >> Resolução

  • Domínio

 ${D_f} = \mathbb{R}$

  • Zeros

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{{e^x} – {e^{ …

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Determine uma equação da reta tangente ao gráfico

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 89

Enunciado

  1. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = {x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)$ no ponto $T\left( {2,8} \right)$.
     
  2. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x + \ln x$, perpendicular à reta de equação $x + 3y
$C$ é a curva representativa da função 0

$C$ é a curva representativa da função

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 54

Enunciado

 $C$ é a curva representativa da função $$f:x \to \frac{1}{{1 + x}}$$

  1. Determine os pontos de $C$ onde a reta tangente é paralela à reta de equação $y =  – x$.
     
  2. Existem tangentes à curva $C$ paralelas à reta de equação $y = x$?
     
  3. Esboce $C$.

Resolução

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Um projétil é lançado do cimo de uma ponte

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 50

Enunciado

Um projétil é lançado do cimo de uma ponte, para o alto.

A sua altura $y$, acima do solo, em metros, $t$ segundos depois é dada por:$$y = f(t) =  – 5{t^2} + 15t + 12$$

  1. Qual é a altura da ponte?
     
  2. Qual é a velocidade média
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Com referência ao gráfico da função $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 212 Ex. 40

Enunciado

 Com referência ao gráfico da função $f$ representada na figura, indique:

  1. entre que par de pontos consecutivos a taxa média de variação da função é maior.
     
  2. entre que par de pontos consecutivos a taxa média de variação está mais próxima de zero.

Resolução >> Resolução

  1. A taxa