A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Monthly Archive: Dezembro 2011

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Aplicando / 12.º Ano / Funções exponenciais e logarítmicas

Um lago com trutas

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 1

Enunciado

Num lago onde não existiam trutas foi lançada determinada quantidade desses peixes com um ano de idade. O número $N$ de trutas vivas existentes $t$ anos após o lançamento é dado por $$N=5000\times {{e}^{-0,1\,t}}$$

  1. Quantas trutas foram lançadas no lago?
  2. Ao fim de quantos anos, aproximadamente, existirão 3000 trutas no lago?
  3. Se o modelo continuar a poder aplicar-se, qual o número de trutas passados muitos anos?

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Aplicando / 9.º Ano / Os números reais

O resultado de cada expressão

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 4

Enunciado

Copia o quadro e indica, com uma cruz, o resultado de cada expressão:

… é igual a … $2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$
$\sqrt{2}+\sqrt{2}$
$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$
$\frac{10\sqrt{2}}{5}$
$\frac{2}{\sqrt{2}}$
$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$
${{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}$

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Os números reais / Aplicando / 9.º Ano

Calcula o valor das expressões

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 89 Ex. 10

Enunciado

Calcula o valor das expressões:

  1. $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-5\sqrt{3}$
  2. ${{\left( \sqrt{2}+2 \right)}^{2}}$
  3. $\frac{1}{3}\pi -\pi +3\pi $
  4. $(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})$
  5. ${{\left( \sqrt{7}-1 \right)}^{2}}$
  6. $(2+\sqrt{3})(7-\sqrt{3})$
  7. $\sqrt{5}-\sqrt{6}+2\sqrt{5}-2\sqrt{6}$

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Uma sala de espetáculos

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 76

Enunciado

Uma sala de espetáculos propõe para a época a compra de bilhetes para 4, 5 ou 6 espetáculos, a preços especiais.

De entre o conjunto de pessoas que compraram os bilhetes especiais, a repartição foi a seguinte:

  • 43,5% escolheram a compra de 4 espetáculos;
  • 33% escolheram a compra de 5 espetáculos;
  • os restantes escolheram a compra de 6 espetáculos.

Por outro lado, 65% dos compradores são jovens com menos de 25 anos e nessa população a repartição … Ler mais

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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75

Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões obtidas pelo primeiro candidato provêm do mesmo examinador”;
  • ${{A}_{2}}$: “as duas questões obtidas pelo segundo candidato provêm do mesmo examinador”.

Seja $\overline{{{A}_{1}}}$ o acontecimento contrário de ${{A}_{1}}$.

  1. a) Mostre que
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um sistema de alarme

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 74

Enunciado

Uma fábrica está dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princípio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produção. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:

  • a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, é $\frac{1}{50}$;
  • a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar é $\frac{1}{500}$;
  • a probabilidade de ocorrer
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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Um fabricante de bolas de ténis

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 73

Enunciado

Um fabricante de bolas de ténis possui três máquinas A, B e C que fornecem respetivamente 10%, 40% e 50% da produção total da sua fábrica.

Um estudo mostrou que a percentagem de bolas defeituosas é 3,5% para a máquina A, 1,5% para a máquina B e 2,2% para a máquina C.

Retira-se, ao acaso, uma bola de uma embalagem.

  1. Mostre que a probabilidade de que esta bola provenha da máquina C e seja defeituosa é $0,011$.
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12.º Ano / Probabilidades e combinatória / Aplicando

Uma agência de publicidade

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 72

Enunciado

Uma agência de publicidade quer testar a eficácia de uma campanha de um anúncio de um novo produto A e faz um estudo que envolve 1000 pessoas.

Os resultados são os seguintes:

  • 650 pessoas viram o anúncio;
  • 300 pessoas compraram o produto A;
  • 100 pessoas compraram o produto A sem terem visto o anúncio.

Uma pessoa é escolhida ao acaso de entre as 1000 pessoas inquiridas e todas as pessoas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas.… Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71

Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
  4. “Produzirem-se pelo menos nove avarias.”

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Aplicando / 12.º Ano / Probabilidades e combinatória

No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70

Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

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