Tagged: números complexos

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Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$, tais que:

1. $\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2$
2. $\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3$
3. $\left| {z + 2 – 4i} \right| =

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Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico definido por $\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$ no plano de Argand.

(Faça $z = x + yi$)

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$$\left| {z – i} \right| = \left| {z …

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• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. ${z^4}.\overline z  = 32i$
    
2. ${z^3} + \left( {\sqrt 3  + i} \right)z = 0$

Resolução >> Resolução

1.   
   $${z^4}.\overline z  = 32i$$
   Considerando $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, temos:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {{{\left( {\rho \operatorname{cis} \theta } \right)}^4} \times \overline {\rho \operatorname{cis} \theta } 

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• Resolução

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.

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Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\sqrt 3  – i} \right)}^k}}& = &{{{\left[ {2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)} \right]}^k}} \\
  {}& = &{{{\left[ {2\operatorname{cis} …

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• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
    
2. ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$

Resolução >> Resolução

1.  
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {z – \frac{{2i}}{z} = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
     {{z^2} – 2i = 0}& \wedge &{z \ne 0}
   \end{array}} \\
     {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
     {{z^2} = 2i}&

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• Resolução

Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$

As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?

Resolução >> Resolução

Resolvendo em $\mathbb{R}$:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^2} = 4}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {w =  – 2}& \vee &{w = 2}
\end{array}}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^4} = 16}& …

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• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. ${z^2} = 1 + i$
    
2. ${z^3} – iz = 0$

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1. Como $w = 1 + i = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}$, temos:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {{z^2} = 1 + i}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
     {z = \sqrt {\sqrt 2 } \operatorname{cis} \left(

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Determine:

1. as cinco raízes quintas de $z = 1$;
     
2. as quatro raízes quartas de $z = i$.

Resolução >> Resolução

1.  As cinco raízes quintas de $z = 1 = \operatorname{cis} \left( 0 \right)$ são:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
     {k = 0:}&{{w_0} = \sqrt[5]{1}\operatorname{cis} \left( {\frac{0}{5}} \right) = \operatorname{cis} \left( 0

Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$

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