Tagged: Trigonometria

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Na figura estão as representações gráficas de duas funções, f e g, no intervalo $\left[ -2\pi ,2\pi  \right]$.

Sabe-se que:

• f é definida por $f(x)=sen\,x$;  
• g é definida por $g(x)=\cos (3x)$;  
• A é um ponto de intersecção dos gráficos de f e de g.

Sem …

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1. $sen\,x=0,4$
    
2. $sen\,x>0,3$

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1. Consideremos duas funções f₁ e f₂, reais de variável real, de domínio R, definidas por ${{f}_{1}}(x)=sen\,x$ e ${{f}_{2}}(x)=0,4$.
    
   Efectuada a representação gráfica destas funções no intervalo $\left[ -2\pi

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":970, "height":510, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 …

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Resolva as seguintes equações trigonométricas, no intervalo indicado:

1. $-\sqrt{3}-2\,sen\,\theta =0$ para $\theta \in \left[ -\pi ,\pi  \right]$
    
2. $-2+\sqrt{3}\,tg\,\theta =1$ para $\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]$
    
3. $1+\sqrt{2}\cos \theta =3$ para $\theta \in \left[ \pi ,3\pi  \right]$
    
4. $4{{\cos }^{2}}\theta =3$ para $\theta \in \left[ -\pi ,\pi  \right]$

Resolução >>…

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Mostre que: $(\cos \alpha -sen\,\alpha )(\cos \alpha +sen\,\alpha )-1=-2\,se{{n}^{2}}\,\alpha $.

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\[\begin{array}{*{35}{l}}
   (\cos \alpha -sen\,\alpha )(\cos \alpha +sen\,\alpha )-1 & = & {{\cos }^{2}}\alpha +\cos \alpha \times sen\,\alpha -\cos \alpha \times sen\,\alpha -se{{n}^{2}}\,\alpha -1  \\
   {} & = & {{\cos }^{2}}\alpha -se{{n}^{2}}\,\alpha -1  \\
   {} …

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Calcule o valor exacto da expressão: $sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4})$.

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\[\begin{array}{*{35}{l}}
   sen\,\frac{13\pi }{4}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4}) & = & sen\,(2\pi +\pi +\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (-6\pi +\frac{\pi }{4})  \\
   {} & = & -\,sen\,(\frac{\pi }{4})+\cos \pi -tg\,(0)+\cos (\frac{\pi }{4})  …

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Simplifique a expressão:

$-2\,sen\,(\alpha +\frac{\pi }{2})+\cos (\frac{5\pi }{2}-\alpha )-sen\,(-\alpha +\pi )$

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\[\begin{array}{*{35}{l}}
   -2\,sen\,(\alpha +\frac{\pi }{2})+\cos (\frac{5\pi }{2}-\alpha )-sen\,(-\alpha +\pi ) & = & -2\,sen\,(\frac{\pi }{2}-(-\alpha ))+\cos (2\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha )-sen\,(\pi -\alpha )  \\
   {} & = & -2\cos (-\alpha )+sen\,\alpha -sen\,\alpha   \\
   {} & …

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Sabe-se que $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ e que $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

Determine o valor exacto de:

1. $sen\,\alpha $
    
2. $tg\,(\pi -\alpha )$

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1. Tendo em consideração a FFT e que $\alpha \in 4.{}^\text{o}Q$, temos \[sen\,\alpha =-\sqrt{1-{{(\frac{1}{3})}^{2}}}=-\sqrt{\frac{9-1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
    
2. Ora, \[tg\,(\pi -\alpha )=tg\,(-\alpha )=-tg\,\alpha =\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}\]

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Resolva as equações trigonométricas que se seguem.

1. $sen\,\theta =-\cos \frac{\pi }{3}$
    
2. $sen\,\theta =\cos \frac{\pi }{5}$
    
3. $\cos \,\theta =\cos (\frac{3\pi }{2}-\theta )$
    
4. $tg\,\theta \times \cos \theta =0$
    
5. $(sen\,\theta )\times (2\cos \theta -1)=0$
    
6. $sen\,(\theta -\frac{\pi }{6})=1$
    
7. $se{{n}^{2}}\,\theta +sen\,\theta =0$
    
8. $\cos \,\theta -sen\,\theta \times \cos \theta =0$
    
9. $\cos \,3\theta =\cos

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Resolva as equações trigonométricas seguintes:

1. $sen\,\theta =sen\,\frac{\pi }{4}$
    
2. $tg\,\theta =\sqrt{3}$
    
3. $sen\,\theta =-sen\,\frac{3\pi }{4}$
    
4. $sen\,\theta =-1$
    
5. $sen\,\theta =\cos \theta $
    
6. $\cos \frac{\theta }{3}=sen\,\theta $
    
7. $t{{g}^{2}}\,\theta =1$
    
8. $1+2\,sen\,\theta =0$
    
9. $2\,sen\,\theta +\sqrt{3}=0$
    
10. $5-5\cos \,(2\theta )=0$

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1.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      sen\,\theta =sen\,\frac{\pi }{4} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
      \theta =\frac{\pi }{4}+2k\pi  &

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Em cada um dos casos, encontre o valor de $\theta $, que verifica:

1. $\begin{matrix}
      \cos \theta =-0,5 & \wedge  & \theta \in \left[ \pi ,2\pi  \right]  \\
   \end{matrix}$
    
2. $\begin{matrix}
      sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2} & \wedge  & \theta \in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right]  \\
   \end{matrix}$
    
3. $\begin{matrix}
      sen\,\theta =\frac{\sqrt{2}}{2} &

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Recorrendo ao círculo trigonométrico, resolva, se possível, no intervalo $\left[ 0,\pi  \right]$, as seguintes equações:

1. $\cos \theta =-\frac{1}{2}$
    
2. $sen\,\theta =\frac{1}{2}$
    
3. $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$
    
4. $tg\,\theta =1$
    
5. $tg\,\theta =-\sqrt{3}$
    
6. $sen\,\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    
7. $sen\,\theta =-0,6$
    
8. $\cos \theta =-0,6$
    
9. $tg\,\theta =-98$
    
10. $\begin{matrix}
       \cos \theta =-\frac{1}{2} & \wedge  & sen\,\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}  \\
    \end{matrix}$

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Com a ajuda da calculadora e de um círculo trigonométrico, determine $\theta $ (em radianos), tal que:

1. $\begin{matrix}
      sen\,\theta =\frac{2}{3} & \wedge  & \frac{\pi }{2}<\theta <\pi   \\
   \end{matrix}$
    
2. $\begin{matrix}
      sen\,\theta =-\frac{1}{3} & \wedge  & \pi <\theta <\frac{3\pi }{2}  \\
   \end{matrix}$
    
3. $\begin{matrix}
      tg\,\theta =\frac{7}{3} & \wedge  & \pi

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Tendo em atenção a variação do seno e do co-seno, compare, se possível, cos a e cos b e sen a e sen b nos seguintes casos:

1. $0\le a\le b\le \frac{\pi }{2}$
    
2. $\pi \le a\le b\le 2\pi $
    
3. $\pi \le a\le b\le \frac{3\pi }{2}$

Resolução >> Resolução…

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Dos ângulos compreendidos entre $0$ e $2\pi $, indique:

1. os que têm seno simétrico do seno de $\frac{\pi }{8}$
    
2. os que têm o co-seno igual ao seno de $\frac{\pi }{8}$

Resolução >> Resolução

1. var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":267, "height":265, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 |

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Indique uma expressão geral dos ângulos que têm:

1. seno igual a $-0,5$
    
2. co-seno igual a $0$

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1. No intervalo $\left[ 0,2\pi  \right]$ há dois ângulos cujo seno é igual a $-0,5$: ${{\alpha }_{1}}=\frac{7\pi }{6}$ ou ${{\alpha }_{2}}=\frac{11\pi }{6}$.
   Logo, uma expressão geral desses ângulos é:

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Sabendo que $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$, calcule o co-seno de:

1. $-\frac{\pi }{8}$
    
2. $\frac{3\pi }{8}$
    
3. $\frac{5\pi }{8}$
    
4. $\frac{9\pi }{8}$
    
5. $-\frac{325\pi }{8}$

Resolução >> Resolução

1.  
   \[\cos (-\frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\]
    
2.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      \cos (\frac{3\pi }{8}) & = & \cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8})  \\
      {} & = & sen\,\frac{\pi }{8}  \\
      {}

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1. Se $\cos (\alpha -\frac{\pi }{2})=\frac{4}{5}$, calcule o valor numérico de $\begin{matrix}
      \cos (-\alpha )-\cos (\pi +\alpha ) & \wedge  & \alpha \in 1.{}^\text{o}Q  \\
   \end{matrix}$.
    
2. Determine o valor exacto de $tg\,(-\alpha )+\cos (\alpha -\frac{\pi }{2})$, sabendo que $\begin{matrix}
      sen\,(-\pi -\alpha )=\frac{3}{7} & \wedge  & \alpha \in 2.{}^\text{o}Q 

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Calcule o valor exacto de cada uma das expressões.

1. $sen\,\frac{13\pi }{3}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4})$
    
2. $se{{n}^{2}}\,(-\frac{7\pi }{4})+{{\cos }^{2}}(-\frac{7\pi }{4})$
    
3. $sen\,\frac{19\pi }{3}+\cos (-3\pi )-tg\,(-\frac{15\pi }{4})+\cos (-\frac{11\pi }{6})$
    
4. $tg\,\frac{13\pi }{4}+\cos 6\pi -sen\,(-\frac{7\pi }{2})+\cos (-\frac{17\pi }{3})$

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1.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      sen\,\frac{13\pi }{3}+\cos 5\pi -tg\,(-7\pi )+\cos (-\frac{23\pi }{4}) & =

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Eprima A(x) em função de sen x e cos x.

1. $A(x)=sen\,(-x)-sen\,(\pi -x)$
    
2. $A(x)=\cos (-x)+\cos (\pi +x)$
    
3. $A(x)=sen\,(\frac{\pi }{2}-x)+\cos (\frac{5\pi }{2}-x)$
    
4. $A(x)=\cos (\frac{3\pi }{2}+x)+sen\,(x-\frac{5\pi }{2})$

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1.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      A(x) & = & sen\,(-x)-sen\,(\pi -x)  \\
      {} & = & -sen\,x-sen\,x  \\
      {} & = & -2sen\,x  \\

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Recorrendo ao círculo trigonométrico, exprima, em função de sen b e cos b, as expressões:

1. $sen\,(b+\pi )+sen\,(b+2\pi )+sen\,(b-\pi )$
    
2. $\cos (b+\pi )+sen\,(b+\frac{\pi }{2})+\cos (b-\pi )+sen\,(b+\frac{3\pi }{2})$
    
3. $sen\,(-b-\pi )-2\cos (-\frac{\pi }{2}-b)+sen\,(-\frac{3\pi }{2}+b)$

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1.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      sen\,(b+\pi )+sen\,(b+2\pi )+sen\,(b-\pi ) & = & -sen\,b+sen\,b-sen\,(\pi -b)  \\
      {} &