A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)
Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]
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\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& …
Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.
Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.
Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]
Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:
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Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Determine as assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}
\end{array}\]
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\[{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}\]
Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com capacidade de $500$ cm3.
As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa $5$ cêntimos por centímetro quadrado.
A superfície lateral é feita de material mais barato, que custa $2$ …
Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]
Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.
Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.
A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + …
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:
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Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]
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Prove que a função definida por $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ não é monótona no seu domínio.
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A função é estritamente decrescente em ${\mathbb{R}^ – }$, quer em ${\mathbb{R}^ + }$, pois ${x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right),\forall x …
Considere a função $g$, definida por: \[g\left( x \right) = 5 + \frac{2}{{x – 3}}\]
Seja $B$ o ponto de coordenadas $\left( {1,2} \right)$.
A cada ponto $C\left( {x,0} \right)$ do eixo $Ox$, com $x > 1$, faça corresponder um ponto $D\left( {0,y} \right)$ do eixo $Oy$, de modo que $B$, $C$ e $D$ sejam colineares.
Sabendo que a razão \[\frac{{x + 2}}{{x – 5}}\] é um valor maior do que $30$% de $x$, determine o valor de $x$.
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\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x + 2}}{{x – 5}} > \frac{3}{{10}}x}& \Leftrightarrow &{\frac{{10x + 20 – 3{x^2} + 15x}}{{10\left( {x – 5} \right)}} > …
Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\]
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Substituindo na inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\] $x$ por $6$ e $y$ por $3$, vem:
\[3 \leqslant \frac{{2 \times 6 + 3}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{{15}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant …
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:
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Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:
\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]
A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).
Escreva uma equação fracionária que admita $2$ e $-3$ como soluções.
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Comecemos por considerar uma equação que admita $2$ e $-3$ como soluções:
\[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]
Desenvolvendo o primeiro membro da equação, vem:
\[{x^2} + x …
Considere as funções \[\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = \frac{{2x – 5}}{{x – 3}}}&{\text{e}}&{{y_2} = \frac{{x + 7}}{{3x + 2}}}
\end{array}\]
Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:
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Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:
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Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.
Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.
Quantos alunos foram almoçar?
Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]
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\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{ …
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