A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& …

0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Concentração do composto

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1

Enunciado

Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.

Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.

  1. Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
     
  2. Represente graficamente a função da alínea anterior.
     
  3. Entre que valores varia a função?
     
  4. Qual a quantidade
…
Determine o conjunto solução de cada uma das condições 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Determine o conjunto solução de cada uma das condições

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12

Enunciado

Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]

Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:

  1. $f\left( x \right) > 0$
     
  2. $f\left( {x – 2} \right) > 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2}
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 10

Enunciado

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

  1. Que transformações geométricas se devem efetuar a partir do gráfico de $g$ para se obter o gráfico da função \[f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{2x – 3}}\] de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}}
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Três funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 9

Enunciado

  1. Represente graficamente, no mesmo referencial, as seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{r}}
      {f\left( x \right) = x + 1}&{\text{;}}&{g\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right)}&{\text{e}}&{h\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}}
    \end{array}\]
  2. Determine o domínio de cada uma das funções anteriores.
     
  3. Compare os três gráficos.
    Quais os pontos dos gráficos
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Determine as assíntotas do gráfico das seguintes funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 8

Enunciado

Determine as assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}\]

  • ${D_f} = \left\{
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Uma peça de forma cilíndrica

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 6

Enunciado

Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com capacidade de $500$ cm3.

As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa $5$ cêntimos por centímetro quadrado.

A superfície lateral é feita de material mais barato, que custa $2$ …

Considere a função $h$ 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Considere a função $h$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]

  1. Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
     
  2. A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left(
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Uma espécie rara de insetos

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4

Enunciado

Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.

Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.

A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + …

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 3

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. $\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0$
     
  2. $\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0$
     
  3. $\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} < 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Determine graficamente

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 12

Enunciado

Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução…

Prove que 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Prove que

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 11

Enunciado

Prove que a função definida por $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ não é monótona no seu domínio.

Resolução >> Resolução

A função é estritamente decrescente em ${\mathbb{R}^ – }$, quer em ${\mathbb{R}^ + }$, pois ${x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right),\forall x …

Considere a função $g$ 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Considere a função $g$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 10

Enunciado

Considere a função $g$, definida por: \[g\left( x \right) = 5 + \frac{2}{{x – 3}}\]

  1. Esboce o gráfico de $g$.
     
  2. Indique como se obtém, por meio de uma série de transformações geométricas, o gráfico da função $g$, a partir do gráfico da função $f\left( x \right) =
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Um ponto $B$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 9

Enunciado

Seja $B$ o ponto de coordenadas $\left( {1,2} \right)$.
A cada ponto $C\left( {x,0} \right)$ do eixo $Ox$, com $x > 1$, faça corresponder um ponto $D\left( {0,y} \right)$ do eixo $Oy$, de modo que $B$, $C$ e $D$ sejam colineares.

  1. Exprima $y$ em função de $x$.
…
Sabendo que a razão 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Sabendo que a razão

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 8

Enunciado

Sabendo que a razão \[\frac{{x + 2}}{{x – 5}}\] é um valor maior do que $30$% de $x$, determine o valor de $x$.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{x + 2}}{{x – 5}} > \frac{3}{{10}}x}& \Leftrightarrow &{\frac{{10x + 20 – 3{x^2} + 15x}}{{10\left( {x – 5} \right)}} > …

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 7

Enunciado

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\]

Resolução >> Resolução

Substituindo na inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\] $x$ por $6$ e $y$ por $3$, vem:

\[3 \leqslant \frac{{2 \times 6 + 3}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{{15}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant …

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 6

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. \[\frac{{3x + 2}}{{x + 3}} >  – \frac{2}{3}\]
     
  2. \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} > 0\]
     
  3. \[\frac{{a – 2}}{a} < \frac{{a – 4}}{{a – 6}}\]

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{3x + 2}}{{\mathop {x + 3}\limits_{\left( 3
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Uma plataforma petrolífera

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 5

Enunciado

Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:

\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]

  1. Qual é o custo por tonelada para $30$ mil toneladas?
     
  2. Quantas mil toneladas tem a plataforma, se o custo por tonelada
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Número de horas de estudo

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 4

Enunciado

A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).

  1. Quantas horas de estudo são necessárias para se obter $85$ (em percentagem)?
    Apresente
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Escreva uma equação fracionária

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 3

Enunciado

Escreva uma equação fracionária que admita $2$ e $-3$ como soluções.

Resolução >> Resolução

Comecemos por considerar uma equação que admita $2$ e $-3$ como soluções:

\[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

Desenvolvendo o primeiro membro da equação, vem:

\[{x^2} + x …

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$ 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {{y_1} = \frac{{2x – 5}}{{x – 3}}}&{\text{e}}&{{y_2} = \frac{{x + 7}}{{3x + 2}}}
\end{array}\]

  1. Escreva as expressões analíticas de ${y_1}$ e ${y_2}$ na forma \[y = a + \frac{b}{{cx + d}}\]
     
  2. Represente graficamente as funções.
     
  3. Relacione o parâmetro $a$ com as equações das
…
Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 1

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $a – \frac{5}{a} = 4$
     
  2. $\frac{9}{{x + 5}} = \frac{3}{{x – 3}}$
     
  3. $\frac{{x + 4}}{x} + \frac{3}{{x + 3}} =  – \frac{{16}}{{{x^2} – 4x}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop a\limits_{\left( a \right)}  – \frac{5}{a} = \mathop 4\limits_{\left( a \right)} }& \Leftrightarrow &{\frac{{{a^2}
…
Resolva as inequações 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva as inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 39 Ex. 13

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}$
     
  2. $1 + \frac{5}{{x – 1}} \leqslant \frac{7}{6}$
     
  3. $\frac{{{x^2} – 16}}{{{x^2} – 4x + 5}} \geqslant 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x + 1 – 16}}{x} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Quantos alunos foram almoçar?

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 36 Ex. 12

Enunciado

Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.

Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.

Quantos alunos foram almoçar?

Resolução …

0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Mais assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ …