Category: 12.º Ano

• Enunciado
• R1

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$, tais que:

1. $\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2$
2. $\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3$
3. $\left| {z + 2 – 4i} \right| = \left| {2i – z} \right|$
4. $\left| {\frac{1}{z}} \right| < \frac{1}{4}$
5. $z.\overline z  = z + \overline z $
6. $2\left| {{\text{z – 1}}} \right| \leqslant \left| {{\text{z + 2}}} \right|$
7. $\operatorname{Im} \left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right) \geqslant

• Enunciado
• Resolução

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico definido por $\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$ no plano de Argand.

(Faça $z = x + yi$)

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• Enunciado
• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. ${z^4}.\overline z  = 32i$
2. ${z^3} + \left( {\sqrt 3  + i} \right)z = 0$

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• Enunciado
• Resolução

Dado o número complexo $w = 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$, determine as raízes da equação ${z^3} + w = 0$, representando as imagens no plano de Argand.

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• Enunciado
• Resolução

Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação $${z^3} – 8i = 0$$

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• Enunciado
• Resolução

Determine as raízes quartas de $1$ e represente os seus afixos do diagrama de Argand.

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• Enunciado
• Resolução

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.

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• Enunciado
• Resolução

${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.

1. Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
2. Determine $z$.

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• Enunciado
• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
2. ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$

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• Enunciado
• Resolução

Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$

As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?

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• Enunciado
• Resolução

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. ${z^2} = 1 + i$
2. ${z^3} – iz = 0$

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• Enunciado
• Resolução

Determine:

1. as cinco raízes quintas de $z = 1$;
2. as quatro raízes quartas de $z = i$.

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Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$