Category: 12.º Ano

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$ 0

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 64

Enunciado

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$, tais que:

  1. $\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2$
  2. $\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3$
  3. $\left| {z + 2 – 4i} \right| =
Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico 0

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 108 Ex. 66

Enunciado

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico definido por $\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$ no plano de Argand.

(Faça $z = x + yi$)

Resolução >> Resolução

$$\left| {z – i} \right| = \left| {z …

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 63

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. ${z^4}.\overline z  = 32i$
     
  2. ${z^3} + \left( {\sqrt 3  + i} \right)z = 0$

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  1.   
    $${z^4}.\overline z  = 32i$$
    Considerando $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, temos:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{{\left( {\rho \operatorname{cis} \theta } \right)}^4} \times \overline {\rho \operatorname{cis} \theta } 
0

Determine as raízes da equação

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 62

Enunciado

Dado o número complexo $w = 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$, determine as raízes da equação ${z^3} + w = 0$, representando as imagens no plano de Argand.

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$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^3} + 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3} = 0}& \Leftrightarrow &{{z^3} =  – 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \\
  {}& \Leftrightarrow …

0

Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação ${z^3} – 8i = 0$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 61

Enunciado

Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação $${z^3} – 8i = 0$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^3} – 8i = 0}& \Leftrightarrow &{{z^3} = 8i} \\
  {}& \Leftrightarrow &{{z^3} = 8\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{3}} \right)}& \vee &{z …

0

As raízes quartas de $1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 60

Enunciado

Determine as raízes quartas de $1$ e represente os seus afixos do diagrama de Argand.

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Como $z = 1 = \operatorname{cis} \left( 0 \right)$, então as suas raízes quartas são:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {k = 0:}&{{w_0} = \operatorname{cis} \left( {\frac{0}{4}} \right) = \operatorname{cis} \left( 0 \right) …

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo 0

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 59

Enunciado

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.

Resolução >> Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\sqrt 3  – i} \right)}^k}}& = &{{{\left[ {2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)} \right]}^k}} \\
  {}& = &{{{\left[ {2\operatorname{cis} …

0

Uma raiz cúbica de um número complexo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 58

Enunciado

${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.

  1. Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
     
  2. Determine $z$.

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  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w_1}}& = &{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}} \\
      {}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 105 Ex. 65

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
     
  2. ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {z – \frac{{2i}}{z} = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {{z^2} – 2i = 0}& \wedge &{z \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2} = 2i}&
Considere as equações 0

Considere as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 64

Enunciado

Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$

As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?

Resolução >> Resolução

Resolvendo em $\mathbb{R}$:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^2} = 4}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {w =  – 2}& \vee &{w = 2}
\end{array}}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^4} = 16}& …

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 63

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. ${z^2} = 1 + i$
     
  2. ${z^3} – iz = 0$

Resolução >> Resolução

  1. Como $w = 1 + i = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}$, temos:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2} = 1 + i}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = \sqrt {\sqrt 2 } \operatorname{cis} \left(
Determine 0

Determine

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 102 Ex. 62

Enunciado

Determine:

  1. as cinco raízes quintas de $z = 1$;
      
  2. as quatro raízes quartas de $z = i$.

Resolução >> Resolução

  1.  As cinco raízes quintas de $z = 1 = \operatorname{cis} \left( 0 \right)$ são:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {k = 0:}&{{w_0} = \sqrt[5]{1}\operatorname{cis} \left( {\frac{0}{5}} \right) = \operatorname{cis} \left( 0
Radiciação em $\mathbb{C}$ 0

Radiciação em $\mathbb{C}$

Números complexos

Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":800, "height":521, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || …

Prove que 0

Prove que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61

Enunciado

Prove que:

  1. $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
     
  2. $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w^4}}& = &{{{\left( {2i} \right)}^4}} \\
      {}& = &{16{i^4}} \\
      {}& = &{16}
    \end{array}$$
     
    Como ${w^4}
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$ 0

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57

Enunciado

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^3}}& = &{{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\operatorname{cis} …

Calcule o valor de 0

Calcule o valor de

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56

Enunciado

Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} – …

Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 55

Enunciado

Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^n} + {{\left( {1 – \sqrt …

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 54

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, o número $$\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}}& = &{\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}} \times \frac{{1 + …

Considere os seguintes números complexos 0

Considere os seguintes números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 53

Enunciado

Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

  1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
     
  2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
     
  3. Obtenha os valores de $\cos
Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 52

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = \sqrt 2  – \sqrt 2 i}&{\text{e}}&{w =  – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i}
\end{array}$$ represente na forma trigonométrica.

  1. $z$
     
  2. $w$
     
  3. $zw$
     
  4. $\frac{z}{w}$
     
  5. ${w^3}$
     
  6. $\frac{1}{{ – w}}$
     
  7. ${z^2}\overline w $
     
  8. ${z^4}:{w^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\sqrt 2  – \sqrt 2 i} \\