A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Equações de grau superior ao 1.º

Resolve as seguintes equações 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Resolve as seguintes equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 9

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $x(x-1)=0$
     
  2. $(a-1)(a+1)=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-2x=0$
     
  4. ${{a}^{2}}-6a+9=0$
     
  5. $4{{y}^{2}}+25=20y$
     
  6. ${{c}^{2}}-0,25=0$
     
  7. $0,04{{x}^{2}}-0,4x+1=0$
     
  8. ${{x}^{2}}=0,01$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x-1)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x-1=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=1  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (a-1)(a+1)=0 & \Leftrightarrow 
…
Determina o conjunto-solução de cada uma das equações 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 78 Ex. 23

Enunciado

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações:

  1. ${{x}^{2}}-6x+9=0$
     
  2. ${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-16=0$
     
  4. $x({{x}^{2}}-25)=0$
     
  5. $8{{x}^{3}}-2x=0$
     
  6. $4{{x}^{2}}+4x+1=0$
     
  7. ${{x}^{2}}-36=0$
     
  8. ${{x}^{2}}-{{(3x+1)}^{2}}=0$
     
  9. ${{(x+1)}^{2}}-(x+1)=0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-6x+9=0 & \Leftrightarrow  & {{(x-3)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (x-3)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=3  \\
    \end{array}\]
     
    Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{
…
Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto 6

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 77 Ex. 22

Enunciado

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto:

  1. $x(x+2)=0$
     
  2. $(2x+1)(x-\frac{1}{3})=0$
     
  3. ${{x}^{2}}+3x=0$
     
  4. $3{{z}^{2}}-12z=0$
     
  5. $(x-3)(2+7x)=0$
     
  6. $x(x+1)+2(x+1)=0$
     
  7. $-x(x+4)=0$
     
  8. $(x+4)x-3(x+4)=0$
     
  9. $3(x-2)(x+2)=0$
     
  10. $16x+2{{x}^{2}}=0$
     
  11. $2{{m}^{2}}+5m=0$

Resolução >> Resolução

Lei do anulamento do produto

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos factores for nulo.

$\begin{matrix}
A\times B=0

…
Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ? 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ?

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 75 Ex. 21
Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ?
Decompõe em factores os polinómios 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Decompõe em factores os polinómios

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 75 Ex. 20

Enunciado

Decompõe em factores os polinómios:

  1. ${{x}^{2}}-6x+9$
     
  2. $4{{x}^{2}}+4x+1$
     
  3. ${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
     
  4. ${{y}^{2}}-25$
     
  5. $4{{a}^{2}}-1$
     
  6. $8{{x}^{3}}y-2x{{y}^{3}}$
     
  7. $2{{x}^{2}}+12x+18$
     
  8. $3{{a}^{2}}x+6ax+3x$
     
  9. ${{x}^{3}}-x$
     
  10. ${{a}^{2}}(a-2)-2a(a-2)+(a-2)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-6x+9 & = & {{(x-3)}^{2}}  \\
       {} & = & (x-3)(x-3)  \\
    \end{array}$
     
  2.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       4{{x}^{2}}+4x+1 & = & {{(2x+1)}^{2}}  \\
       {} & = & (2x+1)(2x+1)  \\
    \end{array}$
     
  3.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
…
Transforma as seguintes expressões em produtos 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Transforma as seguintes expressões em produtos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 74 Ex. 19

Enunciado

Transforma as seguintes expressões em produtos, colocando os factores comuns em evidência:

  1. $mx+nx$
     
  2. $6+3x$
     
  3. $4a-8$
     
  4. $5x-10{{x}^{2}}$
     
  5. $8{{x}^{2}}+2x-4$
     
  6. $5{{a}^{3}}-15{{a}^{2}}+5a$
     
  7. $\frac{1}{5}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$
     
  8. $3(x-5)+x(x-5)$
     
  9. $\frac{1}{2}(x-2)+(x-2)x$
     
  10. ${{(x+7)}^{2}}-(x+7)$
     
  11. ${{(x-2)}^{2}}-2(x-2)$
     
  12. $6+2y+3x+xy$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $mx+nx=x(m+n)$
     
  2.  
    $6+3x=3(2+x)$
     
  3.  
    $4a-8=4(a-2)$
     
  4.  
    $5x-10{{x}^{2}}=5x(1-2x)$
     
  5.  
    $8{{x}^{2}}+2x-4=2(4{{x}^{2}}+x-2)$
     
  6.  
    $5{{a}^{3}}-15{{a}^{2}}+5a=5a({{a}^{2}}-3a+1)$
     
  7.  
    $\frac{1}{5}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}={{x}^{2}}(\frac{1}{5}x-3)$
     
  8.  
    $3(x-5)+x(x-5)=(x-5)(3+x)$
     
  9.  
    $\frac{1}{2}(x-2)+(x-2)x=(x-2)(\frac{1}{2}+x)$
     
  10.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(x+7)}^{2}}-(x+7) & = & (x+7)\left[ (x+7)-1 \right]  \\
       {} &
…
Calcula mentalmente 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Calcula mentalmente

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 8

Enunciado

Calcula mentalmente: $\begin{matrix}
   {{101}^{2}} & {} & {{99}^{2}} & {} & 49\times 51  \\
\end{matrix}$

Explica como procedeste.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{101}^{2}} & = & {{(100+1)}^{2}}  \\
   {} & = & 10000+200+1  \\
   {} & = & 10201  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{99}^{2}} & = & {{(100-1)}^{2}}  …

Desenvolve e simplifica 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Desenvolve e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 7

Enunciado

Desenvolve e simplifica cada uma das seguintes expressões:

  1. $15x-{{(x+7)}^{2}}$
     
  2. $x(x-1)-{{(x-2)}^{2}}$
     
  3. $(x+2)(x-3)+{{(x+1)}^{2}}$
     
  4. ${{(x+\frac{1}{2})}^{2}}-{{(x-\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{3}{4}(x-1)(x+1)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       15x-{{(x+7)}^{2}} & = & 15x-({{x}^{2}}+14x+49)  \\
       {} & = & 15x-{{x}^{2}}-14x-49  \\
       {} & = & -{{x}^{2}}+x-49  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x-1)-{{(x-2)}^{2}} & = & {{x}^{2}}-x-({{x}^{2}}-4x+4)  \\
       {} & = & {{x}^{2}}-x-{{x}^{2}}+4x-4) 
…
Completa 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Completa

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 71 Ex. 18

Enunciado

Completa:

  1. $(….+….)(2x-….)=….-9$
     
  2. $(4a+….)(….-….)=16{{a}^{2}}-25$
     
  3. $(….-x)(….+….)=4-{{x}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1. $(….+….)(2x-….)=….-9$
     
    $(2x+3)(2x-3)=4{{x}^{2}}-9$
     
  2. $(4a+….)(….-….)=16{{a}^{2}}-25$
     
    $(4a+5)(4a-5)=16{{a}^{2}}-25$
     
  3. $(….-x)(….+….)=4-{{x}^{2}}$
     
    $(2-x)(2+x)=4-{{x}^{2}}$
<< Enunciado…
Calcula 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Calcula

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 71 Ex. 17

Enunciado

Calcula:

  1. $(x+5)(x-5)$
     
  2. $(2x-1)(2x+1)$
     
  3. $(1-x)(1+x)$
     
  4. $(1-\frac{1}{2}x)(1+\frac{1}{2}x)$
     
  5. $(4xy-3)(4xy+3)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (x+5)(x-5) & = & {{x}^{2}}-{{5}^{2}}  \\
       {} & = & {{x}^{2}}-25  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (2x-1)(2x+1) & = & {{(2x)}^{2}}-{{1}^{2}}  \\
       {} & = & 4{{x}^{2}}-1  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (1-x)(1+x) & = & {{1}^{2}}-{{x}^{2}}  \\
       {} & =
…
Completa 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Completa

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 16

Enunciado

Completa:

  1. ${{(x+….)}^{2}}=….+8x+16$
     
  2. ${{(….+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+….$
     
  3. ${{(5x-….)}^{2}}=….-….+9$
     
  4. ${{(….-….)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+….$

Resolução >> Resolução

  1. ${{(x+….)}^{2}}=….+8x+16$
     
    ${{(x+4)}^{2}}={{x}^{2}}+8x+16$
     
  2. ${{(….+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+….$
     
    ${{(3x+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+16$
     
  3. ${{(5x-….)}^{2}}=….-….+9$
     
    ${{(5x-3)}^{2}}=25{{x}^{2}}-30x+9$
     
  4. ${{(….-….)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+….$
     
    ${{(x-1)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+1$
<< Enunciado…
Calcula 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Calcula

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 15

Enunciado

Calcula:

  1. ${{(2x-3)}^{2}}$
     
  2. ${{(x+7)}^{2}}$
     
  3. ${{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}$
     
  4. ${{(4a-3b)}^{2}}$
     
  5. ${{(-x-1)}^{2}}$
     
  6. ${{(x+1)}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(2x-3)}^{2}} & = & {{(2x)}^{2}}+2\times 2x\times (-3)+{{(-3)}^{2}}  \\
       {} & = & 4{{x}^{2}}-12x+9  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(x+7)}^{2}} & = & {{x}^{2}}+2\times x\times 7+{{7}^{2}}  \\
       {} & = & {{x}^{2}}+14x+49  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{\left( y+\frac{1}{2}
…
0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Um triângulo rectângulo

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 6

Enunciado

Determina o valor de x de modo que o triângulo seja rectângulo.

Resolução >> Resolução

Para que o triângulo seja rectângulo terá de se verificar: ${{x}^{2}}+{{9}^{2}}={{(x+4)}^{2}}$. (Porquê?)

Assim, temos:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{x}^{2}}+{{9}^{2}}={{(x+4)}^{2}} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+81=(x+4)(x+4)  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+81={{x}^{2}}+4x+4x+16  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 8x=65  …

0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

O número de azulejos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 5

Enunciado

Queremos dispor em forma de quadrado vários azulejos, de forma também quadrada.

Experimentámos de duas maneiras. Da primeira vez sobraram 39. Acrescentámos então mais um azulejo de cada lado. Desta vez faltaram 50.

De quantos azulejos dispúnhamos inicialmente?

Resolução >> Resolução

Seja N o número de azulejos …

Dados os polinómios 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Dados os polinómios

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 4

Enunciado

Dados os polinómios:

$A=2{{x}^{2}}-x-1$ $B=-3{{x}^{2}}+3x$ $C=4{{x}^{3}}-3$ $D=2x+6$
  1. Qual é o grau de cada um dos polinómios?
     
  2. Calcula, reduzindo os termos semelhantes:
  • $A+B$
     
  • $A+C+D$
     
  • $2B-3D$
     
  • $C\times D$

Resolução >> Resolução

$A=2{{x}^{2}}-x-1$ $B=-3{{x}^{2}}+3x$ $C=4{{x}^{3}}-3$ $D=2x+6$
  1. Os polinómios A e B são de grau 2, o polinómio C é de
…
0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Observa os rectângulos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 3

Enunciado

Observa os rectângulos.

Calcula:

  1. a área de cada um dos rectângulos na forma reduzida;
     
  2. a diferença entre a área do rectângulo A e a área do rectângulo B.

Resolução >> Resolução

  1. A área dos rectângulos pode ser expressa por:
     
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{A}_{A}} & = & 0,5x\times 3y  \\
…
Indica pares de monómios semelhantes 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Indica pares de monómios semelhantes

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 2

Enunciado

Indica pares de monómios semelhantes:

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$4x$ $8{{a}^{2}}$ $-2{{a}^{2}}x$ $3,4x$ ${{a}^{2}}x$ ${{a}^{2}}$

Resolução >> Resolução

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$4x$ $8{{a}^{2}}$ $-2{{a}^{2}}x$ $3,4x$ ${{a}^{2}}x$ ${{a}^{2}}$

São semelhantes os monómios: I e IV; II e VI; III e V.

 

<< …
Completa o seguinte quadro 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Completa o seguinte quadro

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 1
Completa o seguinte quadro:
Calcula e simplifica 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Calcula e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 14
Calcula e simplifica: $2x({{x}^{2}}+3x-\frac{1}{2})$ $-3x(-x+4)$ $({{x}^{2}}-7x)\times \frac{{{x}^{3}}}{2}$ $(n-2)(n+3)$ $(3a-1)({{a}^{2}}+\frac{1}{4})$ $(1-m-{{m}^{2}})(m+2)$ $(\frac{a}{2}-3)({{a}^{2}}-6a)$
Calcula e simplifica 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Calcula e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 13

Enunciado

Calcula e simplifica:

  1. $3\times 5x$
     
  2. $2a\times (-a)$
     
  3. $-3yz\times \frac{1}{3}y$
     
  4. $-2{{x}^{2}}\times (-5{{x}^{3}})$
     
  5. $3{{a}^{2}}b\times \frac{ab}{3}$
     
  6. ${{({{x}^{2}}y)}^{2}}$
     
  7. ${{\left( -\frac{1}{2}m{{n}^{2}}p \right)}^{3}}$

Resolução >> Resolução

  1. $3\times 5x=(3\times 5)\times x=15x$
     
  2. $2a\times (-a)=2\times (a\times (-a))=2\times (-{{a}^{2}})=-2{{a}^{2}}$
     
  3. $-3yz\times \frac{1}{3}y=(-3\times \frac{1}{3})\times (yz\times y)=-1\times {{y}^{2}}z=-{{y}^{2}}z$
     
  4. $-2{{x}^{2}}\times (-5{{x}^{3}})=(-2\times (-5))\times ({{x}^{2}}\times {{x}^{3}})=10\times {{x}^{5}}=10{{x}^{5}}$
     
  5. $3{{a}^{2}}b\times \frac{ab}{3}=(3\times \frac{1}{3})\times ({{a}^{2}}b\times ab)=1\times {{a}^{3}}{{b}^{2}}={{a}^{3}}{{b}^{2}}$
…
Considera a expressão 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Considera a expressão

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 12
Considera a expressão: \[5{{x}^{3}}-(-3x)\times 2{{x}^{2}}-\frac{3}{2}{{x}^{4}}+\frac{3}{5}x+4\] Transforma-a num polinómio reduzido e ordena-o. Qual é o grau deste polinómio?
Determina e indica o grau de cada polinómio obtido 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Determina e indica o grau de cada polinómio obtido

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 65 Ex. 11

Enunciado

Considera os polinómios:

$A=7{{x}^{2}}-2x+\frac{1}{2}$ $B={{x}^{2}}-4x$ $C=3{{x}^{2}}-4x+\frac{7}{3}$ $D=3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$

Determina e indica o grau de cada polinómio obtido:

  1. $A+B$
     
  2. $B-C$
     
  3. $C-D$
     
  4. $A-(B+C+D)$

Resolução >> Resolução

$A=7{{x}^{2}}-2x+\frac{1}{2}$ $B={{x}^{2}}-4x$ $C=3{{x}^{2}}-4x+\frac{7}{3}$ $D=3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$

 

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       A+B & = & (7{{x}^{2}}-2x+\frac{1}{2})+({{x}^{2}}-4x)  \\
       {} & = & 7{{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x-4x+\frac{1}{2}  \\
       {} & = & 8{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2}  \\
…
Considera as seguintes expressões 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

Considera as seguintes expressões

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 64 Ex. 8

Enunciado

Considera as seguintes expressões:

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$2x+3y$ $-\frac{5}{3}$ $a$ $\frac{3}{2}a$ $\frac{2}{3}+x$ $et$
  1. Indica as que são monómios.
     
  2. De entre os monómios da alínea anterior, indica os que são semelhantes.

Resolução >> Resolução

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$2x+3y$ $-\frac{5}{3}$ $a$ $\frac{3}{2}a$ $\frac{2}{3}+x$
…
Copia e completa 0

8.º Ano / Aplicando / Equações de grau superior ao 1.º

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Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 64 Ex. 7

Enunciado

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Monómio Parte literal Coeficiente Grau
$3{{x}^{6}}$      
$-a$      
$\frac{x}{2}$      
$abc$      
$-2$      
$\frac{-y}{3}$      

Resolução >> Resolução

Monómio Parte literal Coeficiente Grau
$3{{x}^{6}}$ ${{x}^{6}}$ $3$ 6
$-a$ $a$ $-1$ 1
$\frac{x}{2}$ $x$ $\frac{1}{2}$ 1
$abc$ $abc$ $1$ 3
$-2$ —– $-2$ 0
$\frac{-y}{3}$ $y$ $-\frac{1}{3}$ 1

 …