Category: Números complexos
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 64
Enunciado
Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$, tais que:
- $\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2$
- $\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3$
- $\left| {z + 2 – 4i} \right| = \left| {2i – z} \right|$
- $\left| {\frac{1}{z}} \right| < \frac{1}{4}$
- $z.\overline z = z + \overline z $
- $2\left| {{\text{z – 1}}} \right| \leqslant \left| {{\text{z + 2}}} \right|$
- $\operatorname{Im} \left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right) \geqslant
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 108 Ex. 66
Enunciado
Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico definido por $\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$ no plano de Argand.
(Faça $z = x + yi$)
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 63
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:
- ${z^4}.\overline z = 32i$
- ${z^3} + \left( {\sqrt 3 + i} \right)z = 0$
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 62
Enunciado
Dado o número complexo $w = 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$, determine as raízes da equação ${z^3} + w = 0$, representando as imagens no plano de Argand.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 61
Enunciado
Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação $${z^3} – 8i = 0$$
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 60
Enunciado
Determine as raízes quartas de $1$ e represente os seus afixos do diagrama de Argand.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 59
Enunciado
Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 58
Enunciado
${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.
- Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
- Determine $z$.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 105 Ex. 65
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:
- $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
- ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 64
Enunciado
Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$
As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 63
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:
- ${z^2} = 1 + i$
- ${z^3} – iz = 0$
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 102 Ex. 62
Enunciado
Determine:
- as cinco raízes quintas de $z = 1$;
- as quatro raízes quartas de $z = i$.
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Exploração da representação geométrica das n raízes de índice n de um número complexo não nulo
Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61
Enunciado
Prove que:
- $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
- $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57
Enunciado
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$.
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Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56
Enunciado
Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$
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