Monthly Archive: Janeiro 2012
Função logística
Exploração da representação gráfica influenciada pela variação de parâmetros na função logística
Evolução de uma população
Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.
Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.
Um primeiro aspecto que convém notar é que se vai representar por uma função real de variável real um número de indivíduos que é necessariamente inteiro. Isto é aceitável porque se pretende apenas uma aproximação do número de … Ler mais
Número de habitantes de um certo país
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34
Enunciado
Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:
$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$
com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.
- Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
- Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?
- Em que ano serão atingidos os 45 milhões de habitantes?
- A longo prazo, quantos habitantes terá presumivelmente o país, se aquele modelo continuar
Um depósito num banco
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13
Enunciado
Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão
$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$
Sabendo que se depositaram 1000 € à taxa anual de 4%, calcule o capital acumulado após 10 anos se os juros forem capitalizados:
- anualmente;
- trimestralmente;
- mensalmente;
- de hora a hora;
- de minuto
Considere as funções
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12
Enunciado
Considere as funções
$$\begin{array}{*{35}{l}}
f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3} \\
g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}} \\
h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2 \\
\end{array}$$
- Indique o domínio de cada uma das funções.
- Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
- Determine os zeros de cada uma das funções.
- Determine os valores de $x$ para os quais $h(x)\le -2$.
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A magnitude de um sismo
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 11
Enunciado
A magnitude $M$ de um sismo registada na escala de Richter está relacionada com a energia total $E$, em Joule, libertada por esse sismo pela fórmula: $$M=0,694\log E-3,64$$
- Exprima $E$ em função de $M$.
- Verifique se é verdadeira a afirmação:
“Um sismo de magnitude 6 liberta, aproximadamente, 28 vezes mais energia do que um sismo de magnitude 5.” - Por volta das 8 horas do dia 26 de Dezembro de 2004, um sismo de magnitude 9
Duas funções reais de variável real
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10
Enunciado
Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right) \\
\end{matrix}$$
- Qual o domínio de cada uma das funções?
- Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a representa.
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O nível de um som
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 9
Enunciado
O nível $S$ de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade $I$, medida em Watt por metro quadrado, de acordo com a lei $$S=10\log \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)$$ sendo ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}$ Watt por metro quadrado a menor intensidade de som que o ouvido humano pode detetar:
- Calcule o nível de som quando $I={{I}_{0}}$.
- Verifique que $S=120+10\log I$.
- Admita que o nível de ruído de música rock amplificada, ouvido por alguém que se encontra numa discoteca, é
Uma função
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 8
Enunciado
Seja $f$ a função definida em ${{\mathbb{R}}^{+}}$ por $$f(x)={{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x$$
- Mostre que $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x$, para qualquer $x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
- Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de $f$ com a reta de equação $y=3$.
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A população de uma cidade
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7
Enunciado
A população de uma cidade aumenta 5% por ano.
Supõe-se que no início de 1990 a população era de 100.000 habitantes.
- Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
Qual o valor de $P(1)$?
Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e $P(n+1)$ e, em seguida, deduza a expressão de $P(n)$ em função de $n$. - Qual será o número de habitantes da referida cidade no início do ano 2010?
- A partir de
A escala de Richter
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 6
Enunciado
A escala de Richter permite converter a amplitude máxima dos registos feitos por um sismógrafo num número que nos permite estabelecer uma medida para a magnitude $M$ de um sismo.
Naquela escala, um sismo de nível zero é aquele em que a amplitude máxima dos registos dos sismógrafos situados a $100$ km do epicentro é $0,001$ milímetros.
A magnitude $M$ de um sismo em que o sismógrafo situado a $100$ km do epicentro regista amplitudes máximas de … Ler mais
Caraterize a função inversa
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 55 Ex. 28
Enunciado
Caraterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
- $f:x\to 1+{{2}^{x}}$
- $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$
- $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$
- $j:x\to 4-\ln (1-2x)$
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Considere a função
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 53 Ex. 26
Enunciado
Considere a função $g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$.
- Determine o domínio e os zeros de $g$.
- Resolva as condições:
a) $g(x)\le 3$
b) $g(x)>1$ - Confirme, na sua calculadora, os resultados encontrados.
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Aplicando a fórmula da mudança de base
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 49 Ex. 24
Enunciado
- Aplicando a fórmula da mudança de base, represente graficamente cada uma das funções, na calculadora:
${{y}_{1}}={{\log }_{2}}(x+3)$
${{y}_{2}}={{\log }_{3}}(2-x)$
${{y}_{3}}={{\log }_{5}}\sqrt{x-3}$
- Indique o domínio de cada função e equações das assíntotas dos seus gráficos.
- Explique como pode obter cada um dos gráficos a partir do gráfico de $y=\ln x$.
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