Category: 10.º Ano

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Duas variáveis $p$ e $q$

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 38 Ex. 2

Enunciado

Na tabela seguinte, encontra valores correspondentes das variáveis $p$ e $q$.

$p$ $1$ $2$ $3$ $4$
$q$ $950$ $900$ $850$ $800$
  1. Determine uma expressão de $q$ como função afim de $p$.
  2. Determine uma expressão de $p$ como função afim de $q$.

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Um passeio ao longo da marginal

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 38 Ex. 1

Enunciado

Num passeio que deu ao longo da marginal da sua cidade, o Pedro partiu de um café a $5$ km da sua residência e seguiu a caminho de casa, sempre a andar ao mesmo ritmo. Pelo seu relógio, concluiu que andou cada quilómetro em $15$ minutos.

  1. Complete a seguinte tabela:
    Tempo, $t$, em minutos $0$ $30$
    Distância do Pedro a casa, $d$, em quilómetros $4$ $0$
  2. Escreva uma expressão que represente a distância a que o Pedro 
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As funções afins $f$, $g$ e $h$

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 37 Ex. 6

Enunciado

No referencial da figura encontam-se representadas as funções afins $f$, $g$ e $h$, definidas por:

  • $f\left( x \right) = 3x – 6$
  • $g\left( x \right) =  – 0,5x + 1,5$
  • $h\left( x \right) = 1,5$
  1. Relacione os gráficos com as funções dadas.
  2. Determine os zeros de $f$ e de $g$.
  3. Calcule a área dos triângulos [CDB] e [ABP].
  4. Determine, sob a forma de intervalo, os conjuntos de valores de $x$ para os quais:

    a) a função $f$

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Mais retas

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 37 Ex. 2 e 3

Enunciado

Considere os seguintes casos de pontos e declives:

Caso 1   Caso 2   Caso 3
$A\left( {0, – 3} \right)$ e $m = 2$ $B\left( {0,4} \right)$ e $m =  – 1$ $C\left( {1,4} \right)$ e $m = 0$
  1. Para cada caso, desenhe a reta a que pertence o ponto indicado e tem como declive o valor de $m$ apresentado. Defina as correspondentes funções afins.
  2. Para cada caso, defina a função afim cujo gráfico é a reta paralela
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Reta a que pertencem os pontos dados

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 37 Ex. 1

Enunciado

Para cada alínea, represente a reta a que pertencem os pontos dados e defina a função afim cujo gráfico é a reta que desenhou.

  1. $A\left( {0, – 3} \right)$ e $B\left( {8,1} \right)$;
  2. $C\left( { – 1,0} \right)$ e $D\left( {2,6} \right)$;
  3. $E\left( { – 2,4} \right)$ e $F\left( {1, – 5} \right)$.

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Um galinheiro

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 29 Ex. 3

Enunciado

Um agricultor comprou $6$ metros de rede para fazer um galinheiro retangular, como ilustra a figura.

  1. Complete a seguinte tabela:

  2. Num referencial cartesiano, marque os pontos $\left( {c,l} \right)$ que obteve na alínea anterior.
  3. Explique como se pode obter os valores de $l$ à custa de $c$. Exprima $l$ em função de $c$.
  4. Determine o valor de c, e o correspondente valor de $l$, para o qual a área é máxima.
  5. Qual é a forma do galinheiro
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Três funções

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 29 Ex. 2

Enunciado

Dadas as funções

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to 2x + 5}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to 4{x^2} – 36x}
\end{array}}
\end{array}$$

  1. Determine a imagem de $0$, $ – 1$ e $\frac{3}{2}$ pela função $f$.
  2. Qual(ais) o(s) objeto(s) que tem(têm) imagem $3$ pela função $f$.
  3. Represente graficamente as funções dadas.

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Um jardim junto a um lago

Funções e gráficos: Matemática A 10.º - Parte 2 - Pág. 29 Ex. 1

Enunciado

Pretende-se construir um jardim junto a um lago, conforme a figura ilustra.

Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede. Pretende-se que os lados consecutivos do jardim sejam sempre perpendiculares.

As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Tal como a figura mostra, $x$ é a medida em metros de um dos lados do jardim.

Vão ser utilizados, na sua totalidade, $100$ metros de rede.

  1. Mostre que
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Considere o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 3

Enunciado

Consideremos o cubo com $4$ cm de aresta representado na figura.

Sabendo que I e J são pontos médios das arestas a que pertencem:

  1. reproduza o cubo e construa a secção nele produzida pelo plano IDJ;
  2. prove que a secção obtida na alínea anterior é um losango e represente-a em verdadeira grandeza;
  3. determine os valores exatos do perímetro e da área da secção, apresentando o resultado o mais simplificado possível.

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O mesmo cubo com $4$ cm de aresta

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 2

Enunciado

Considere, ainda, o cubo [ABCDEFGH] do exercício anterior e o plano IJK paralelo a AD.

  1. Determine as dimensões da secção [IJKL], supondo que I e J são pontos médios das arestas [EF] e [AE].
  2. Sendo $\overline {EJ}  = \overline {EI} $, determine $\overline {EJ} $ de modo que a secção [IJKL] seja um quadrado.

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Um cubo com $4$ cm de aresta

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 63 Ex. 1

Enunciado

Consideremos o cubo [ABCDEFGH], com $4$ cm de aresta e o plano IJK, sendo J e K pontos médios das arestas [AE] e [DH], respetivamente, e I um ponto de [EF], tal que $\overline {EI}  = 3$ cm.

  1. Qual a posição do plano IJK em relação à reta da aresta [AD]? Porquê?
  2. Represente em perspetiva sobre o cubo a secção nele produzida pelo plano IJK.
  3. Classifique, justificando, a secção obtida e represente-a em verdadeira grandeza.
  4. Determine o
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Cortes produzidos num tetraedro

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 57 Ex. 3

Enunciado

Seja [BDEG] um tetraedro regular.

Os pontos M, N e Q são pontos médios das arestas a que pertencem.

Desenhe os cortes produzidos no tetraedro pelos planos indicados.

Plano MNG Plano MNQ
Plano que contém a reta MN e é paralelo a DG Plano MNT, sendo $\overline {TG}  = \frac{1}{4}\overline {BG} $
Plano que contém a reta UM e é paralelo a DG Plano MBG
Plano que passa em M e é paralelo a DBG
 

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Considere o cubo

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 56 Ex. 2

Enunciado

Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura.

  1. Diga se são paralelos ou secantes e defina com precisão a intersecção:

    a) da reta CE com o plano ABF;
    b) da reta BE com o plano ADG;
    c) da reta EH com o plano ADG;
    d) da reta DH com o plano ACG.

  2. Seja I o ponto médio do segmento [BC].

    a) Construa a intersecção da reta EI com o plano ABG.
    b) Construa a intersecção dos planos DEI

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Questões sobre um cubo

Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 56 Ex. 1

Enunciado

Para responder às questões seguintes, utilize, para além do desenho de um cubo em perspetiva, um modelo que pode construir em cartão ou outro material (recorra ainda, como suporte de visualização, à observação do paralelepípedo em que se instala a sua sala de aula, se for o caso).

  1. Indique planos aos quais pertença A e cite planos que contenham a reta AB. Há vários planos que contêm A, B e C?
  2. A face [ABGF] determina um plano.
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Uma caixa com latas de refrigerante

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 39 Ex. 31

Enunciado

Imagine que alguém pensou acondicionar latas de $75$ cl de refrigerante numa caixa prismática cuja base é um paralelogramo obliquângulo, como mostra a figura.

  1. Se o raio da base de cada lata medir $4$ cm, qual é a área da base da caixa?
    Sugestão: No esquema, marcaram-se vários raios de circunferências. Recorrendo aos seus conhecimentos sobre triângulos (acutângulos ou retângulos) ou ao Teorema de Pitágoras, determine o comprimento e a altura do paralelogramo.
  2. As latas têm
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Dois quadrados sobrepostos

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 39 Ex. 30

Enunciado

Dois quadrados congruentes de $6$ cm de lado estão sobrepostos como mostra a figura.

O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado.

Qual é a área da parte sobreposta?

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