Category: Cálculo diferencial
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99
Enunciado
Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$
- Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
- O que se pode dizer
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98
Enunciado
Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.
- Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96
Enunciado
Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.
Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$
Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94
Resolução
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.
A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$
- Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93
Enunciado
Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92
Enunciado
Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$
- Caraterize a função derivada $f’$.
- Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91
Enunciado
Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.
Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.
Sabe-se que a temperatura $A$ (em …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90
Enunciado
Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.
Passado um ano, o número de águias era 417.
Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86
Enunciado
A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.
A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.
- Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85
Enunciado
Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.
O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.
As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83
Enunciado
Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.
Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81
Enunciado
Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.
Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].
Faça-se $\overline {AM} = x$.
Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?
Resolução >>
Resolução
Como o triângulo [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79
Enunciado
[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.
Os ângulos agudos medem 45º.
Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).
- Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
- Exprima $\overline {AD} $ e
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75
Enunciado
Considere a parábola definida por $y = – {x^2} + 9$.
Supondo que a unidade adoptada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.…
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 177 Ex. 108
Enunciado
Considere a função real de variável real $$f:x \to \ln \left( {{e^x} – 1} \right)$$
- Determine o domínio e zeros de $f$.
- Determine as equações das assíntotas ao gráfico de $f$.
- Estude a monotonia da função.
- Esboce o gráfico de $f$.
- Determine uma equação da reta tangente
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Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 175 Ex. 107
Enunciado
Estude e represente graficamente a função seno hiperbólico definida em $\mathbb{R}$ por: $$f(x) = {\text{senh}}\,x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}$$
Resolução >>
Resolução
${D_f} = \mathbb{R}$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^x} – {e^{ …
