Category: Derivadas

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$ 0

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x …

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Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …

Mostre que 0

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
     
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
     
  3. a função definida por $r\left( x
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Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações …

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Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
     
  2. Encontre a lei
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Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
     
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
     
  3. Calcule a velocidade média
Duas regras de derivação 0

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Seja $k$ constante e ${x_0} …

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Uma bola desce um plano inclinado

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5

Enunciado

Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.

A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]

  1. Represente
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Mais sobre derivadas

11.º Ano: Ficha de Trabalho

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.

A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.

Bom Trabalho!

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SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
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Um objecto move-se ao longo de uma recta

Enunciado

Um objecto move-se ao longo de uma recta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
   d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0)  \\
\end{matrix}\]

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as …

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A área de um triângulo

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 199 Ex. 51

Enunciado

O triângulo [ABC] está inscrito num semicírculo de diâmetro 15 cm.

  1. Exprima a área de triângulo [ABC] em função do cateto de medida x.
     
  2. Determine um valor aproximado de x para o qual a área é máxima.
    Qual é o valor dessa área?

Resolução >> Resolução

  1. Admitindo
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Como resultado de uma pesquisa de mercado

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 50

Enunciado

Como resultado de uma pesquisa de mercado, o director de uma empresa verificou que a procura dos seus produtos era dada, aproximadamente, por uma função linear de equação \[v=30-2p\] em que v representa a procura, ou seja, o número de artigos (em milhões) que serão vendidos ao …

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A densidade populacional

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 49

Enunciado

A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.

Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2, à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, …

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Uma folha rectangular de metal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 48

Resolução

Uma folha rectangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.

Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?

Resolução >> Resolução

Para que a caleira transporte …

Considere a função quadrática 0

Considere a função quadrática

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 44

Enunciado

Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.

  1. Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
     
  2. Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida,
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Lançou-se um foguete de fabrico artesanal

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 196 Ex. 43

Enunciado

Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o …

Desenhe os gráficos das funções 2

Desenhe os gráficos das funções

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 195 Ex. 41

Enunciado

  1. Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$  e  $g:x\to {{x}^{3}}$.
     
    Considerando o recângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamentodas duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
     
  2. Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada
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Do terraço de um prédio lançou-se uma bola

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 37

Enunciado

Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]

  1. Qual é a altura do terraço?
     
  2. Qual o intervalo de tempo em
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A lei de Boyle

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 36

Enunciado

A lei de Boyle afirma que, se a temperatura permanece constante, a pressão $p$ e o volume $v$ (em m3) de um certo gás dentro de um recipiente estão relacionados pela expressão
\[p=\frac{200}{v}\]

Determine a taxa de variação de $p$ em relação a $v$ para …