A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75

Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71

Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
     
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
     
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
     
  4. “Produzirem-se pelo
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70

Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

Resolução >> Resolução

A variável aleatória $X$: “Número de buracos feitos pelo João, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Caminho de ferro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 69

Enunciado

No esquema da figura, os vértices indicam povoações unidas pelo caminho de ferro.

Os números representam distâncias em km.

  1. Com o auxílio de um esquema em árvore, apresente o conjunto de todos os caminhos possíveis entre A e F.
     
  2. Se for escolhido um desses caminhos ao acaso,
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Uma superfície esférica 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma superfície esférica

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 68

Enunciado

Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$.

Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção desta superfície esférica com os eixos do referencial.

Escolhendo um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por $z=0$.
Indique …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Atividade terapêutica de um medicamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67

Enunciado

A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.

Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244
N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Grupos sanguíneos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66

Enunciado

Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.

Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.

Escolhidas, ao acaso, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma viagem a Paris

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 65

Enunciado

Suponha que lhe propõem três estratégias diferentes para ganhar uma viagem a Paris:

1.ª estratégia – no lançamento de uma moeda quatro vezes consecutivas, obtém 4 faces nacionais (N) seguidas;

2.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém a seguinte sequência: NENNE;

3.ª …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um teste de escolha múltipla

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 64

Enunciado

Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas possíveis, só uma sendo correta, um aluno, que não tinha estudado, decide responder ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. não acertar nenhuma?
     
  2. acertar em pelo menos uma?
     
  3. acertar em todas?
     
  4. acertar
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma urna contém seis bolas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 63

Enunciado

Uma urna contém 6 bolas, cada uma das quais tem uma letra A, B, C, D, E ou F.

Estas letras são igualmente os vértices do hexágono regular representado ao lado.

  1. Tiram-se, ao acaso e simultaneamente, três bolas e anotam-se as letras inscritas.
    Qual é o espaço
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Latas de Coca-Cola e Ice Tea

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 62

Enunciado

A professora de Matemática do 12.º X propôs o seguinte problema à turma:

“Uma grade tem doze compartimentos para colocar latas de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos arrumar sete latas na grade, sabendo que quatro delas são de Coca-Cola (e, portanto, indistinguíveis) e as restantes …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Números da TMN

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 61

Enunciado

Como é sabido, os números de telemóvel da operadora TMN têm 9 algarismos começando sempre por 96.

Quantos desses números são múltiplos de dez e têm todos os algarismos deferentes?

Resolução >> Resolução

Como se sabe, um número é múltiplo de dez quando o algarismo das unidades …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um poliedro de nove faces

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 60

Enunciado

Considere, agora, o poliedro do problema anterior num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que:

  • o vértice O coincida com a origem do referencial;
  • o vértice N pertença ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice P pertença ao semieixo positivo Oy.
  1. Escolhendo, ao acaso, três dos nove
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Numerar as faces de um poliedro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 59

Enunciado

Na figura está representado um poliedro com nove faces, que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Pretende-se numerar as nove faces do poliedro com os números de 1 a 9 (um número diferente em cada face).

Como se vê na figura, três das …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

O alfabeto Morse

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 58

Enunciado

O alfabeto Morse utiliza os símbolos • e –.

Utilizando no máximo três destes símbolos, quantas sequências distintas se podem obter?

Resolução >> Resolução

As sequências pretendidas podem ser constituídas por:

  • 1 símbolo, que pode ser escolhido de duas maneiras diferentes. Portanto, ${{N}_{1}}={}^{2}{{A}_{1}}=2$;
     
  • 2 símbolos, que
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Oito livros

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 57

Enunciado

Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, oito livros todos distintos, dois dos quais são de Inglês.

De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois livros de Inglês fiquem juntos?

Resolução >> Resolução

Admite-se que se pretende dispor os 8 livros em …