A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75

Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71

Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
     
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
     
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
     
  4. “Produzirem-se pelo
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70

Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

Resolução >> Resolução

A variável aleatória $X$: “Número de buracos feitos pelo João, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Caminho de ferro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 69

Enunciado

No esquema da figura, os vértices indicam povoações unidas pelo caminho de ferro.

Os números representam distâncias em km.

  1. Com o auxílio de um esquema em árvore, apresente o conjunto de todos os caminhos possíveis entre A e F.
     
  2. Se for escolhido um desses caminhos ao acaso,
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Uma superfície esférica 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma superfície esférica

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 68

Enunciado

Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$.

Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção desta superfície esférica com os eixos do referencial.

Escolhendo um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por $z=0$.
Indique …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Atividade terapêutica de um medicamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67

Enunciado

A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.

Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244
N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Grupos sanguíneos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66

Enunciado

Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.

Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.

Escolhidas, ao acaso, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma viagem a Paris

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 65

Enunciado

Suponha que lhe propõem três estratégias diferentes para ganhar uma viagem a Paris:

1.ª estratégia – no lançamento de uma moeda quatro vezes consecutivas, obtém 4 faces nacionais (N) seguidas;

2.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém a seguinte sequência: NENNE;

3.ª …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um teste de escolha múltipla

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 64

Enunciado

Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas possíveis, só uma sendo correta, um aluno, que não tinha estudado, decide responder ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. não acertar nenhuma?
     
  2. acertar em pelo menos uma?
     
  3. acertar em todas?
     
  4. acertar
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma urna contém seis bolas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 63

Enunciado

Uma urna contém 6 bolas, cada uma das quais tem uma letra A, B, C, D, E ou F.

Estas letras são igualmente os vértices do hexágono regular representado ao lado.

  1. Tiram-se, ao acaso e simultaneamente, três bolas e anotam-se as letras inscritas.
    Qual é o espaço
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Latas de Coca-Cola e Ice Tea

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 62

Enunciado

A professora de Matemática do 12.º X propôs o seguinte problema à turma:

“Uma grade tem doze compartimentos para colocar latas de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos arrumar sete latas na grade, sabendo que quatro delas são de Coca-Cola (e, portanto, indistinguíveis) e as restantes …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Números da TMN

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 61

Enunciado

Como é sabido, os números de telemóvel da operadora TMN têm 9 algarismos começando sempre por 96.

Quantos desses números são múltiplos de dez e têm todos os algarismos deferentes?

Resolução >> Resolução

Como se sabe, um número é múltiplo de dez quando o algarismo das unidades …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um poliedro de nove faces

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 60

Enunciado

Considere, agora, o poliedro do problema anterior num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que:

  • o vértice O coincida com a origem do referencial;
  • o vértice N pertença ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice P pertença ao semieixo positivo Oy.
  1. Escolhendo, ao acaso, três dos nove
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Numerar as faces de um poliedro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 59

Enunciado

Na figura está representado um poliedro com nove faces, que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Pretende-se numerar as nove faces do poliedro com os números de 1 a 9 (um número diferente em cada face).

Como se vê na figura, três das …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

O alfabeto Morse

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 58

Enunciado

O alfabeto Morse utiliza os símbolos • e –.

Utilizando no máximo três destes símbolos, quantas sequências distintas se podem obter?

Resolução >> Resolução

As sequências pretendidas podem ser constituídas por:

  • 1 símbolo, que pode ser escolhido de duas maneiras diferentes. Portanto, ${{N}_{1}}={}^{2}{{A}_{1}}=2$;
     
  • 2 símbolos, que
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Oito livros

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 57

Enunciado

Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, oito livros todos distintos, dois dos quais são de Inglês.

De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois livros de Inglês fiquem juntos?

Resolução >> Resolução

Admite-se que se pretende dispor os 8 livros em …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Num saco existem doze cartões

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 56

Enunciado

Num saco existem doze cartões de igual forma e material, dos quais quatro são verdes, quatro são azuis e quatro são pretos.

Para cada uma das cores, os cartões estão numerados de 1 a 4.

  1. Retirando do saco, um a um, todos os cartões e dispondo-os em
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Parque de estacionamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 55

Enunciado

Seis amigos chegam à escola conduzindo cada um a sua motorizada e encontram os dez lugares do parque de estacionamento vazios.

  1. De quantas formas podem estacionar as motorizadas se não houver qualquer restrição?
     
  2. Supondo que os lugares de estacionamento lhes foram atribuídos ao acaso, qual a probabilidade
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um grupo de doze rapazes e oito raparigas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 52

Enunciado

Um grupo de doze rapazes e oito raparigas pretende organizar um clube.

  1. De quantos modos diferentes se pode obter uma direção de cinco elementos com funções indiferenciadas, sabendo que:
    a) são todos elegíveis;
    b) é formada só por rapazes;
    c) é formada só por raparigas;
    d) é
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um autocarro chega à fronteira

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 51

Enunciado

Um autocarro chega à fronteira com 30 passageiros. Destes 30 passageiros, 10 levam contrabando.

O funcionário da alfândega vai vistoriar 8 passageiros escolhidos ao acaso.

Qual é a probabilidade de dois e só dois dos passageiros com contrabando sejam escolhidos?
(Apresente o resultado aproximado às milésimas.)

Resolução …

Comissão da festa de finalistas 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Comissão da festa de finalistas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 50

Enunciado

Os 25 alunos de uma turma do 12.º ano, dos quais 11 são raparigas, pretendem constituir uma comissão para organizar a festa dos finalistas.

A comissão deve ser formada por 5 rapazes e 3 raparigas.

A delegada de turma deve, obrigatoriamente, fazer parte da comissão.

  1. Quantas comissões
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Direção de um clube 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Direção de um clube

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 49

Enunciado

Um grupo de 35 jovens, dos quais 15 são raparigas, decide formar um clube cuja direção será constituída por 5 elementos:

  • um presidente (rapaz);
  • um vice-presidente (rapariga);
  • um secretário (rapariga);
  • um tesoureiro (qualquer género);
  • um relações públicas (qualquer género).

Qual é o número de direções diferentes possíveis?…

Uma urna com 10 cartões 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma urna com 10 cartões

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 48

Enunciado

Numa urna colocaram-se 10 cartões indistinguíveis ao tato.

Cada cartão tem escrito um número, sendo cinco dos números positivos e os restantes negativos.

Tiram-se simultaneamente dois cartões, ao acaso. Há maior probabilidade do produto dos dois números extraídos ser positivo ou negativo?

Resolução >> Resolução

A extração …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Num baralho de 40 cartas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 174 Ex. 46

Enunciado

Num baralho de 40 cartas, de quantos modos diferentes se podem extrair simultaneamente três cartas que sejam:

  1. reis?
     
  2. do mesmo valor (três ases, ou três reis, ou …)?
     
  3. copas?

Resolução >> Resolução

Não pode haver cartas repetidas, nem interessa a ordem das cartas extraídas.

  1. Pode-se extrair simultaneamente
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