A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Funções exponenciais e logarítmicas

Determine a expressão designatória da função derivada 1

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times
…
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Função logística

 

Evolução de uma população

Pierre Francois Verhulst (1804-1849)

Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.

Um primeiro aspecto …

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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Número de habitantes de um certo país

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34

Enunciado

Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$

com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.

  1. Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
     
  2. Passado quanto tempo
…
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Um depósito num banco

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13

Enunciado

Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão

$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$

Sabendo que …

Considere as funções 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Considere as funções

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12

Enunciado

Considere as funções $$\begin{array}{*{35}{l}}
   f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3}  \\
   g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}}  \\
   h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2  \\
\end{array}$$

  1. Indique o domínio de cada uma das funções.
     
  2. Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
     
  3. Determine os zeros de cada uma das funções.
     
  4. Determine os valores de $x$ para
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

A magnitude de um sismo

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 11

Enunciado

A magnitude $M$ de um sismo registada na escala de Richter está relacionada com a energia total $E$, em Joule, libertada por esse sismo pela fórmula: $$M=0,694\log E-3,64$$

  1. Exprima $E$ em função de $M$.
     
  2. Verifique se é verdadeira a afirmação:
    “Um sismo de magnitude 6 liberta,
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Duas funções reais de variável real 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Duas funções reais de variável real

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
   f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right)  \\
\end{matrix}$$

  1. Qual  o domínio de cada uma das funções?
     
  2. Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

O nível de um som

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 9

Enunciado

O nível $S$ de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade $I$, medida em Watt por metro quadrado, de acordo com a lei $$S=10\log \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)$$ sendo ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}$ Watt por metro quadrado a menor intensidade de som que o ouvido humano pode detetar:…

Uma função 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Uma função

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 8

Enunciado

Seja $f$ a função definida em ${{\mathbb{R}}^{+}}$ por $$f(x)={{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x$$

  1. Mostre que $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x$, para qualquer $x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
     
  2. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de $f$ com a reta de equação $y=3$.

Resolução >> Resolução

  1. O domínio da função é: $$\begin{array}{*{35}{l}}
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A população de uma cidade 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

A população de uma cidade

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7

Enunciado

A população de uma cidade aumenta 5% por ano.

Supõe-se que no início de 1990 a populção era de 100.000 habitantes.

  1. Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
    Qual o valor de $P(1)$?
    Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

A escala de Richter

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 6

Enunciado

Charles Richter e o seu sismógrafo

A escala de Richter permite converter a amplitude máxima dos registos feitos por um sismógrafo num número que nos permite estabelecer uma medida para a magnitude $M$ de um sismo.

Naquela escala, um sismo de nível zero é aquele em que …

Caraterize a função inversa 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Caraterize a função inversa

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 55 Ex. 28

Enunciado

Caraterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:

  • $f:x\to 1+{{2}^{x}}$
     
  • $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$
     
  • $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$
     
  • $j:x\to 4-\ln (1-2x)$

Resolução >> Resolução

  •  $f:x\to 1+{{2}^{x}}$

Comecemos por determinar o domínio da função:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{f}}=D{{‘}_{{{f}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\}  \\
   {} & = …

Considere a função 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Considere a função

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 53 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$.

  1. Determine o domínio e os zeros de $g$.
     
  2. Resolva as condições:
    a) $g(x)\le 3$
    b) $g(x)>1$
     
  3. Confirme, na sua calculadora, os resultados encontrados.

Resolução >> Resolução

$$g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$$

  1.  Comecemos por determinar o domínio de $g$: \[\begin{array}{*{35}{l}}    {{D}_{g}} & = &
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Aplicando a fórmula da mudança de base 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Aplicando a fórmula da mudança de base

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 49 Ex. 24

Enunciado

  1. Aplicando a fórmula da mudança de base, represente graficamente cada uma das funções, na calculadora:
     
    ${{y}_{1}}={{\log }_{2}}(x+3)$
     
    ${{y}_{2}}={{\log }_{3}}(2-x)$
     
    ${{y}_{3}}={{\log }_{5}}\sqrt{x-3}$
     
  2. Indique o domínio de cada função e equações das assímptotas dos seus gráficos.
     
  3. Explique como pode obter cada um dos gráficos a partir do gráfico de
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Simplifique as expressões 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Simplifique as expressões

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 23

Enunciado

Simplifique as expressões:

  • $A=\ln e+\ln {{e}^{2}}+\ln {{e}^{3}}$
     
  • $B=\ln e-\ln \left( \frac{1}{e} \right)$
     
  • $C=\ln \left( e\sqrt{2} \right)$
     
  • $D=\ln {{e}^{2}}-2\ln e$
     
  • $E=\ln 3+\ln \left( 27e \right)-\ln \left( 9{{e}^{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   A & = & \ln e+\ln {{e}^{2}}+\ln {{e}^{3}}  \\
   {} & = & 1+2+3  \\
   {} …

Averigue se as funções são idênticas 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Averigue se as funções são idênticas

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 22

Enunciado

Em cada uma das alíneas, averigue se as funções $f$ e $g$ são idênticas.

Represente graficamente os pares de funções.

  1. $f(x)=\log \left( \frac{x}{x-2} \right)$
    $g(x)=\log x-\log (x-2)$
     
  2. $f(x)=\log \left( x(x-2) \right)$
    $g(x)=\log x+\log (x+2)$
     
  3. $f(x)=\log {{x}^{2}}$
    $g(x)=2\log x$
     
  4. $f(x)=\log {{x}^{3}}$
    $g(x)=3\log x$
     
  5. $f(x)=\log
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

O tom de uma nota musical

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 4

Enunciado

O tom de uma nota musical é determinado pela frequência da vibração que a gerou.

Usando os valores a tabela:

N.º de oitavas acima do Dó médio ($n$) 0 1 2 3 4
Frequência em Hertz ($f$) 263 526 1052 2104 4208
  1. Mostre que a sequência das
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Propagação de uma doença 0

12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Propagação de uma doença

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 4

Enunciado

A propagação de uma certa doença segue um crescimento exponencial dado, em função do tempo, pela expressão: $$N={{e}^{0,77\,t}}+6$$ em que $N$ representa o número de pessoas contaminadas e $t$ o número de anos decorridos desde o começo de 1983, início da contagem do tempo ($t=0$).

  1. Determine o
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Num parque de um hipermercado

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 3

Enunciado

Entre as 14 e as 15 horas param, num parque de um hipermercado, automóveis à razão de 12 automóveis por hora (0,2 automóveis por minuto). A seguinte fórmula da estatística pode ser usada para determinar a probabilidade de um carro chegar antes de decorrerem $t$ minutos, após …

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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Anestesiar um cão

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 2

Enunciado

Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais.
Suponha que a dose $d$ (em miligramas) necessária para anestesiar um cão de 20 kg, durante o tempo $t$ (em horas) é dada por: $$d(t)=600\times {{2}^{\frac{t}{4}}}$$

  1. Qual a dose necessária para anestesiar um cão com o peso indicado
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12.º Ano / Aplicando / Funções exponenciais e logarítmicas

Um lago com trutas

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 1

Enunciado

Num lago onde não existiam trutas foi lançada determinada quantidade desses peixes com um ano de idade. O número $N$ de trutas vivas existentes $t$ anos após o lançamento é dado por $$N=5000\times {{e}^{-0,1\,t}}$$

  1. Quantas trutas foram lançadas no lago?  
  2. Ao fim de quantos anos, aproximadamente, existirão
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