Category: Funções exponenciais e logarítmicas
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19
Enunciado
Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:
- $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
- $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
- $h:\theta \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $
Resolução >>
Resolução
-
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
{}& = &{2 \times
…
Evolução de uma população
Pierre Francois Verhulst (1804-1849)
Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.
Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.
Um primeiro aspecto …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34
Enunciado
Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:
$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$
com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.
- Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
- Passado quanto tempo
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13
Enunciado
Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão
$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$
Sabendo que …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12
Enunciado
Considere as funções $$\begin{array}{*{35}{l}}
f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3} \\
g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}} \\
h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2 \\
\end{array}$$
- Indique o domínio de cada uma das funções.
- Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
- Determine os zeros de cada uma das funções.
- Determine os valores de $x$ para
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 11
Enunciado
A magnitude $M$ de um sismo registada na escala de Richter está relacionada com a energia total $E$, em Joule, libertada por esse sismo pela fórmula: $$M=0,694\log E-3,64$$
- Exprima $E$ em função de $M$.
- Verifique se é verdadeira a afirmação:
“Um sismo de magnitude 6 liberta,
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10
Enunciado
Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right) \\
\end{matrix}$$
- Qual o domínio de cada uma das funções?
- Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 9
Enunciado
O nível $S$ de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade $I$, medida em Watt por metro quadrado, de acordo com a lei $$S=10\log \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)$$ sendo ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}$ Watt por metro quadrado a menor intensidade de som que o ouvido humano pode detetar:…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 8
Enunciado
Seja $f$ a função definida em ${{\mathbb{R}}^{+}}$ por $$f(x)={{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x$$
- Mostre que $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x$, para qualquer $x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
- Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de $f$ com a reta de equação $y=3$.
Resolução >>
Resolução
- O domínio da função é: $$\begin{array}{*{35}{l}}
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7
Enunciado
A população de uma cidade aumenta 5% por ano.
Supõe-se que no início de 1990 a populção era de 100.000 habitantes.
- Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
Qual o valor de $P(1)$?
Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 6
Enunciado
Charles Richter e o seu sismógrafo
A escala de Richter permite converter a amplitude máxima dos registos feitos por um sismógrafo num número que nos permite estabelecer uma medida para a magnitude $M$ de um sismo.
Naquela escala, um sismo de nível zero é aquele em que …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 55 Ex. 28
Enunciado
Caraterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
- $f:x\to 1+{{2}^{x}}$
- $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$
- $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$
- $j:x\to 4-\ln (1-2x)$
Resolução >>
Resolução
Comecemos por determinar o domínio da função:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{f}}=D{{‘}_{{{f}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\} \\
{} & = …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 53 Ex. 26
Enunciado
Considere a função $g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$.
- Determine o domínio e os zeros de $g$.
- Resolva as condições:
a) $g(x)\le 3$
b) $g(x)>1$
- Confirme, na sua calculadora, os resultados encontrados.
Resolução >>
Resolução
$$g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$$
- Comecemos por determinar o domínio de $g$: \[\begin{array}{*{35}{l}} {{D}_{g}} & = &
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 49 Ex. 24
Enunciado
- Aplicando a fórmula da mudança de base, represente graficamente cada uma das funções, na calculadora:
${{y}_{1}}={{\log }_{2}}(x+3)$
${{y}_{2}}={{\log }_{3}}(2-x)$
${{y}_{3}}={{\log }_{5}}\sqrt{x-3}$
- Indique o domínio de cada função e equações das assímptotas dos seus gráficos.
- Explique como pode obter cada um dos gráficos a partir do gráfico de
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 23
Enunciado
Simplifique as expressões:
- $A=\ln e+\ln {{e}^{2}}+\ln {{e}^{3}}$
- $B=\ln e-\ln \left( \frac{1}{e} \right)$
- $C=\ln \left( e\sqrt{2} \right)$
- $D=\ln {{e}^{2}}-2\ln e$
- $E=\ln 3+\ln \left( 27e \right)-\ln \left( 9{{e}^{3}} \right)$
Resolução >>
Resolução
\[\begin{array}{*{35}{l}}
A & = & \ln e+\ln {{e}^{2}}+\ln {{e}^{3}} \\
{} & = & 1+2+3 \\
{} …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 48 Ex. 22
Enunciado
Em cada uma das alíneas, averigue se as funções $f$ e $g$ são idênticas.
Represente graficamente os pares de funções.
- $f(x)=\log \left( \frac{x}{x-2} \right)$
$g(x)=\log x-\log (x-2)$
- $f(x)=\log \left( x(x-2) \right)$
$g(x)=\log x+\log (x+2)$
- $f(x)=\log {{x}^{2}}$
$g(x)=2\log x$
- $f(x)=\log {{x}^{3}}$
$g(x)=3\log x$
- $f(x)=\log
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 4
Enunciado
O tom de uma nota musical é determinado pela frequência da vibração que a gerou.
Usando os valores a tabela:
| N.º de oitavas acima do Dó médio ($n$) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| Frequência em Hertz ($f$) |
263 |
526 |
1052 |
2104 |
4208 |
- Mostre que a sequência das
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 4
Enunciado
A propagação de uma certa doença segue um crescimento exponencial dado, em função do tempo, pela expressão: $$N={{e}^{0,77\,t}}+6$$ em que $N$ representa o número de pessoas contaminadas e $t$ o número de anos decorridos desde o começo de 1983, início da contagem do tempo ($t=0$).
- Determine o
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 3
Enunciado
Entre as 14 e as 15 horas param, num parque de um hipermercado, automóveis à razão de 12 automóveis por hora (0,2 automóveis por minuto). A seguinte fórmula da estatística pode ser usada para determinar a probabilidade de um carro chegar antes de decorrerem $t$ minutos, após …
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 2
Enunciado
Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais.
Suponha que a dose $d$ (em miligramas) necessária para anestesiar um cão de 20 kg, durante o tempo $t$ (em horas) é dada por: $$d(t)=600\times {{2}^{\frac{t}{4}}}$$
- Qual a dose necessária para anestesiar um cão com o peso indicado
…
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 201 Ex. 1
Enunciado
Num lago onde não existiam trutas foi lançada determinada quantidade desses peixes com um ano de idade. O número $N$ de trutas vivas existentes $t$ anos após o lançamento é dado por $$N=5000\times {{e}^{-0,1\,t}}$$
- Quantas trutas foram lançadas no lago?
- Ao fim de quantos anos, aproximadamente, existirão
…
