Sobre um número real
Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 8
Enunciado
Um número $x$ verifica a condição $\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4}$.
Enquadra os seguintes números:
- $x-1$
- $x+2$
- $3x$
- $-4x$
Resolução
- Pela monotonia da adição, adicionando $-1$ a ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow & \frac{2}{\underset{(1)}{\mathop{3}}\,}-\underset{(3)}{\mathop{1}}\,<x-1<\frac{3}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\underset{(4)}{\mathop{1}}\, \\
{} & \Leftrightarrow & -\frac{1}{3}<x-1<-\frac{1}{4} \\
\end{array}$$
- Pela monotonia da adição, adicionando $2$ a ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow & \frac{2}{\underset{(1)}{\mathop{3}}\,}+\underset{(3)}{\mathop{2}}\,<x+2<\frac{3}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}+\underset{(4)}{\mathop{2}}\, \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{8}{3}<x+2<\frac{11}{4} \\
\end{array}$$
- Pela monotonia parcial da multiplicação, multiplicando por $3$ ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow & 3\times \frac{2}{3}<3\times x<3\times \frac{3}{4} \\
{} & \Leftrightarrow & 2<3x<\frac{9}{4} \\
\end{array}$$
- Pela monotonia parcial da multiplicação, multiplicando por $-4$ ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow & -4\times \frac{2}{3}>-4\times x>-4\times \frac{3}{4} \\
{} & \Leftrightarrow & -\frac{8}{3}>-4x>-3 \\
{} & \Leftrightarrow & -3<-4x<-\frac{8}{3} \\
\end{array}$$
