A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: probabilidade

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Ciência e Tecnologia / Matemática / Vídeo

Prediction by the Numbers

Discover why some predictions succeed and others fail as experts forecast the future

Predictions underlie nearly every aspect of our lives, from sports, politics, and medical decisions to the morning commute. With the explosion of digital technology, the Internet, and “big data,” the science of forecasting is flourishing. But why do some predictions succeed spectacularly while others fail abysmally? And how can we …

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Ciência e Tecnologia / Matemática / Vídeo

Tails You Win: The Science of Chance

Professor David Spiegelhalter tries to pin down what chance is and how it works in the real world

 

 

David Spiegelhalter

Smart and witty, jam-packed with augmented-reality graphics and fascinating history, this film, presented by professor David Spiegelhalter, tries to pin down what chance is and how it works in the real world. For once this really is ‘risky’ television.

The film follows in the footsteps of …

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Matemática / Vídeo

Más por menos

Desde el número áureo hasta el mundo de las gráficas pasando por las cónicas o las leyes del azar

La serie educativa “Más por menos“, de La aventura del saber (RTVE, 2000), se presenta dentro de un conjunto de propuestas didácticas y materiales interactivos que facilitan su utilización en el aula.

La serie, que consta de 12 documentales de 18 minutos cada uno, persigue acercar al gran …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma sala de espetáculos

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 76
Enunciado

Teatro Ribeiro Conceição – Lamego

Uma sala de espetáculos propõe para a época a compra de bilhetes para 4, 5 ou 6 espetáculos, a preços especiais.

De entre o conjunto de pessoas que compraram os bilhetes especiais, a repartição foi a seguinte:

  • 43,5% escolheram a compra de
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75
Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um sistema de alarme

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 74
Enunciado

Uma fábrica está dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princípio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produção. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:

  • a probabilidade do alarme
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um fabricante de bolas de ténis

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 73
Enunciado

Um fabricante de bolas de ténis possui três máquinas A, B e C que fornecem respetivamente 10%, 40% e 50% da produção total da sua fábrica.

Um estudo mostrou que a percentagem de bolas defeituosas é 3,5% para a máquina A, 1,5% para a máquina B e …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma agência de publicidade

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 72
Enunciado

Uma agência de publicidade quer testar a eficácia de uma campanha de um anúncio de um novo produto A e faz um estudo que envolve 1000 pessoas.

Os resultados são os seguintes:

  • 650 pessoas viram o anúncio;
  • 300 pessoas compraram o produto A;
  • 100 pessoas compraram o
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71
Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
     
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
     
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
     
  4. “Produzirem-se pelo
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70
Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

Resolução >> Resolução

A variável aleatória $X$: “Número de buracos feitos pelo João, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Caminho de ferro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 69
Enunciado

No esquema da figura, os vértices indicam povoações unidas pelo caminho de ferro.

Os números representam distâncias em km.

  1. Com o auxílio de um esquema em árvore, apresente o conjunto de todos os caminhos possíveis entre A e F.
     
  2. Se for escolhido um desses caminhos ao acaso,
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Uma superfície esférica 0

12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma superfície esférica

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 68
Enunciado

Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$.

Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção desta superfície esférica com os eixos do referencial.

Escolhendo um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por $z=0$.
Indique …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Atividade terapêutica de um medicamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67
Enunciado

A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.

Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244
N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Grupos sanguíneos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66
Enunciado

Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.

Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.

Escolhidas, ao acaso, …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma viagem a Paris

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 65
Enunciado

Suponha que lhe propõem três estratégias diferentes para ganhar uma viagem a Paris:

1.ª estratégia – no lançamento de uma moeda quatro vezes consecutivas, obtém 4 faces nacionais (N) seguidas;

2.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém a seguinte sequência: NENNE;

3.ª …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um teste de escolha múltipla

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 64
Enunciado

Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas possíveis, só uma sendo correta, um aluno, que não tinha estudado, decide responder ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. não acertar nenhuma?
     
  2. acertar em pelo menos uma?
     
  3. acertar em todas?
     
  4. acertar
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma urna contém seis bolas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 63
Enunciado

Uma urna contém 6 bolas, cada uma das quais tem uma letra A, B, C, D, E ou F.

Estas letras são igualmente os vértices do hexágono regular representado ao lado.

  1. Tiram-se, ao acaso e simultaneamente, três bolas e anotam-se as letras inscritas.
    Qual é o espaço
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um poliedro de nove faces

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 60
Enunciado

Considere, agora, o poliedro do problema anterior num referencial o. n. Oxyz, de tal forma que:

  • o vértice O coincida com a origem do referencial;
  • o vértice N pertença ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice P pertença ao semieixo positivo Oy.
  1. Escolhendo, ao acaso, três dos nove
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Oito livros

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 57
Enunciado

Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, oito livros todos distintos, dois dos quais são de Inglês.

De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois livros de Inglês fiquem juntos?

Resolução >> Resolução

Admite-se que se pretende dispor os 8 livros em …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Num saco existem doze cartões

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 56
Enunciado

Num saco existem doze cartões de igual forma e material, dos quais quatro são verdes, quatro são azuis e quatro são pretos.

Para cada uma das cores, os cartões estão numerados de 1 a 4.

  1. Retirando do saco, um a um, todos os cartões e dispondo-os em
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Parque de estacionamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 55
Enunciado

Seis amigos chegam à escola conduzindo cada um a sua motorizada e encontram os dez lugares do parque de estacionamento vazios.

  1. De quantas formas podem estacionar as motorizadas se não houver qualquer restrição?
     
  2. Supondo que os lugares de estacionamento lhes foram atribuídos ao acaso, qual a probabilidade
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Números com quatro algarismos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 173 Ex. 40
Enunciado

Considere todos os números com quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9.

Escolhido um desses números ao acaso, qual é a probabilidade de ser um número ímpar, de ter os algarismos todos diferentes e começar por 8?

Resolução >> Resolução

Cada …

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um fabricante de bicicletas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 173 Ex. 39
Enunciado

Um fabricante de bicicletas atribui um código de fabrico a cada bicicleta que produz.

Cada código é formado por quatro algarismos (de 0 a 9) colocados por uma certa ordem.

Escolhida uma bicicleta ao acaso, qual a probabilidade do seu código ter exatamente três zeros?

Resolução >>…
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Iogurtes e sumos

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
Enunciado

Considere um espaço de resultados finito, $\Omega $, associado a uma certa experiência aleatória.

A propósito de dois acontecimentos X e Y ($X\subset \Omega $ e $Y\subset \Omega $), sabe-se que:

  • $P(X)=a$
  • $P(Y)=b$
  • X e Y são independentes
  1. Mostre que a probabilidade de que não ocorra X
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Próximo de uma praia portuguesa

Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
Enunciado
  1. Seja $\Omega $ o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
    Sejam A e B dois acontecimentos ($A\subset \Omega $ e $B\subset \Omega $), com $P(A)>0$.
    Mostre que: \[\frac{P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(A)}=1-P(B|A)\]
     
  2. Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional de juventude, no
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