Uma calçada
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 89 Ex. 19
O Sr. José foi contratado para fazer uma calçada à volta de dois lados de um terreno retangular. O terreno mede 20 metros por 30 metros, como indica a figura, e a calçada deve ter sempre a mesma largura.
Sabendo que o Sr. José dispõe de 72 m2 de lajetas de pavimento para fazer a obra, qual deverá ser a largura, arredondada às décimas, da calçada?
Seja x, em metros, a largura da calçada.
Decompondo a calçada em dois retângulos e um quadrado, uma expressão da sua área, em função de x, é:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_C}}& = &{30 \times x + x \times x + 20 \times x}\\{}& = &{30x + {x^2} + 20x}\\{}& = &{{x^2} + 50x}\end{array}\]
Considerando valor máximo possível para a área da calçada, temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_C} = 72}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 50x = 72}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 50x – 72 = 0}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 50 \mp \sqrt {2500 + 288} }}{2}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 50 \mp 2\sqrt {697} }}{2}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 25 – \sqrt {697} }& \vee &{x = – 25 + \sqrt {697} }\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = – 25 + \sqrt {697} }\\{}&{}&{x \approx 1,4}\end{array}\]
A largura da calçada deve ser, aproximadamente, 1,4 metros.
