Category: Operações com funções
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 14
Enunciado
Mostre que as funções seguintes são iguais.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 9}}}
\end{array}}&{}&{\text{e}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}}
\end{array}\]
Resolução >>
Resolução
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 12
Enunciado
As funções de Heaviside e rampa são definidas, respetivamente, por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}&{\text{e}}&{R\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x \leqslant 0} \\ …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 8
Enunciado
Considere as funções definidas por:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to x + 1}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ {0,1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2} – x}}}
\end{array}}
\end{array}\]…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 12
Enunciado
Na figura estão representadas:
- parte do gráfico de uma função quadrática $f$;
- parte do gráfico de uma função afim $g$.
Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: $\frac{f}{g}$ e $\frac{g}{f}$.
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Resolução
\[{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} \cap \left\{ {x \in \mathbb{R}:g\left( x \right) …
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 11
Enunciado
Considere as funções definidas por:
\[\begin{array}{*{20}{r}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to {x^2}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{x + 1}}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to {x^2} – x}
\end{array}}
\end{array}\]
Caracterize as seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{l}}…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 125 Ex. 10
EnunciadoSejam $f$ e $g$ duas funções definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = {x^2} – 4}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = x + 2}
\end{array}\]
Caracterize a função $\frac{f}{g}$ e estude o seu sinal, relacionando-o com o sinal quer da função $f$ quer da função $g$.
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Resolução…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 122 Ex. 9
Enunciado
Na figura estão representadas graficamente as funções $s$ e $t$.
Determine:
- $s\left( 0 \right)$
- $t\left( 5 \right)$
- $\left( {s + t} \right)\left( 3 \right)$
- $\left( {s – t} \right)\left( 3 \right)$
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Resolução
- $s\left( 0 \right) = 2$
- $t\left( 5 \right) = 0$
- $\left( {s +
…
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 118 Ex. 8
Enunciado
Verifique se são iguais os seguintes pares de funções reais de variável real:
- \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{2 – x}}{{{x^2} – 4}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{x + 2}}}
\end{array}\]
- \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x}}{{{{\left( {x
…
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 60
Enunciado
- Determine os números reais a, b e c tais que: \[\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}=ax+b+\frac{c}{x-2}\]
- Conjecture se o gráfico da função racional definida por \[f(x)=\frac{3{{x}^{2}}-5x-7}{x-2}\] tem uma assimptota oblíqua e, no caso afirmativo, indique a sua equação.
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Resolução
- Efectuando a divisão do polinómio $3{{x}^{2}}-5x-7$ por $x-2$ pela Regra de
…
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 59
Enunciado
f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\]
Encontre os reais a e b tais que, para todo o $x\ne 1\wedge x\ne -1$, \[f(x)=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}\]
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Resolução
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x) & = & \frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x} \\
{} & = & \frac{a(1+x)}{(1-x)(1+x)}+\frac{b(1-x)}{(1-x)(1+x)} \\
{} …
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 58
Enunciado
f é uma função racional definida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ por \[f(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x-3}{2{{(x-1)}^{2}}}\]
Encontre os reais a, b e c tais que, para todo o $x\ne 1$, \[f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}}\]
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Resolução
Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x) & = & a+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
{} & = & \frac{2a{{(x-1)}^{2}}}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{2b(x-1)}{2{{(x-1)}^{2}}}+\frac{c}{2{{(x-1)}^{2}}} \\
{} & …
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 57
Enunciado
Sejam \[\begin{matrix}
f:x\to \frac{2x+2}{{{x}^{2}}-3x+2} & e & g:x\to \frac{4x-4}{x-2} \\
\end{matrix}\]
- Mostre que $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ são funções racionais e determine o seu domínio.
- Determine os valores de x tais que $f(x)\le \frac{1}{2}$.
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Resolução
- ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-3x+2\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:\tilde{\ }\left( x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}
…
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 56
Enunciado
Sejam: \[\begin{matrix}
f:x\to \frac{3x-4}{{{(x-1)}^{2}}} & e & g:x\to \frac{4}{{{x}^{3}}-1} \\
\end{matrix}\]
Mostre que $f+g$ é uma função racional e determine o seu domínio.
Resolução >>
Resolução
${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{(x-1)}^{2}}\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
${{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-1\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$…
Operações com funções: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 200 Ex. 55
Enunciado
Sejam as funções racionais definidas por: \[\begin{matrix}
f(x)=\frac{1}{4x+3} & e & g(x)=\frac{2x-1}{(4x+3)(x-7)} \\
\end{matrix}\]
- Indique o seu domínio.
- Caracterize $f+g$.
- Determine $x\in \mathbb{R}$ tal que $f(x)\le g(x)$.
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Resolução
- ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:4x+3\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3}{4} \right\}$
${{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:(4x+3)(x-7)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3}{4},7 \right\}$
- ${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap
…
