A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Probabilidades e combinatória

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma sala de espetáculos

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 76

Enunciado

Uma sala de espetáculos propõe para a época a compra de bilhetes para 4, 5 ou 6 espetáculos, a preços especiais.

De entre o conjunto de pessoas que compraram os bilhetes especiais, a repartição foi a seguinte:

  • 43,5% escolheram a compra de 4 espetáculos;
  • 33% escolheram a compra de 5 espetáculos;
  • os restantes escolheram a compra de 6 espetáculos.

Por outro lado, 65% dos compradores são jovens com menos de 25 anos e nessa população a repartição … Ler mais

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Para um exame

Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75

Enunciado

Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.

As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.

Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.

Designe-se por:

  • ${{A}_{1}}$: “as duas questões obtidas pelo primeiro candidato provêm do mesmo examinador”;
  • ${{A}_{2}}$: “as duas questões obtidas pelo segundo candidato provêm do mesmo examinador”.

Seja $\overline{{{A}_{1}}}$ o acontecimento contrário de ${{A}_{1}}$.

  1. a) Mostre que
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um sistema de alarme

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 74

Enunciado

Uma fábrica está dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princípio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produção. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:

  • a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, é $\frac{1}{50}$;
  • a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar é $\frac{1}{500}$;
  • a probabilidade de ocorrer
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um fabricante de bolas de ténis

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 73

Enunciado

Um fabricante de bolas de ténis possui três máquinas A, B e C que fornecem respetivamente 10%, 40% e 50% da produção total da sua fábrica.

Um estudo mostrou que a percentagem de bolas defeituosas é 3,5% para a máquina A, 1,5% para a máquina B e 2,2% para a máquina C.

Retira-se, ao acaso, uma bola de uma embalagem.

  1. Mostre que a probabilidade de que esta bola provenha da máquina C e seja defeituosa é $0,011$.
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma agência de publicidade

Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 72

Enunciado

Uma agência de publicidade quer testar a eficácia de uma campanha de um anúncio de um novo produto A e faz um estudo que envolve 1000 pessoas.

Os resultados são os seguintes:

  • 650 pessoas viram o anúncio;
  • 300 pessoas compraram o produto A;
  • 100 pessoas compraram o produto A sem terem visto o anúncio.

Uma pessoa é escolhida ao acaso de entre as 1000 pessoas inquiridas e todas as pessoas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas.… Ler mais

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Dez máquinas diferentes

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71

Enunciado

Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.

A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.

Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:

  1. “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
  2. “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
  3. “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
  4. “Produzirem-se pelo menos nove avarias.”

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

No jogo do golfe

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 70

Enunciado

No jogo do golfe, a probabilidade de que o João faça buraco a determinada distância é $0,3$.

Se o João fizer seis tentativas, qual é a probabilidade de acertar pelo menos uma vez?

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Caminho de ferro

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 69

Enunciado

No esquema da figura, os vértices indicam povoações unidas pelo caminho de ferro.

Os números representam distâncias em km.

  1. Com o auxílio de um esquema em árvore, apresente o conjunto de todos os caminhos possíveis entre A e F.
  2. Se for escolhido um desses caminhos ao acaso, qual a probabilidade de:

    a) passar por todas as povoações?

    b) ter no máximo 15 km?

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma superfície esférica

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 68

Enunciado

Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$.

Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção desta superfície esférica com os eixos do referencial.

Escolhendo um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por $z=0$.
Indique o resultado em percentagem.

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Atividade terapêutica de um medicamento

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 67

Enunciado

A tabela seguinte refere-se aos dados obtidos nos estudos clínicos realizados para avaliar a atividade terapêutica de um medicamento.

Fases da experiência 1.ª 2.ª 3.ª 4.ª 5.ª 6.ª
N.º de doentes medicados 120 235 528 822 1099 2244
N.º de doentes que melhoraram 52 126 310 490 659 1346
  1. Com base nos resultados obtidos, os investigadores concluíram que a probabilidade de obter êxito com o referido medicamento é de 60%.

    a) Comente a conclusão a que chegaram

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Grupos sanguíneos

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 66

Enunciado

Os seres humanos estão repartidos, segundo a composição do seu sangue, em quatros grupos: O, A, B e AB.

Num conjunto de 10 dadores de sangue, quatro pertencem ao grupo O, três ao grupo A, dois ao grupo B e um ao grupo AB.

Escolhidas, ao acaso, quatro pessoas desse conjunto:

  1. qual é a probabilidade das quatro pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
  2. qual é a probabilidade de pelo menos três delas pertencerem ao mesmo grupo sanguíneo?
  3. sabendo
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma viagem a Paris

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 65

Enunciado

Suponha que lhe propõem três estratégias diferentes para ganhar uma viagem a Paris:

1.ª estratégia – no lançamento de uma moeda quatro vezes consecutivas, obtém 4 faces nacionais (N) seguidas;

2.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém a seguinte sequência: NENNE;

3.ª estratégia – no lançamento de uma moeda cinco vezes consecutivas, obtém 3 faces nacionais (N) e 2 faces europeias (E).

Qual das estratégias escolheria?

Faça uma pequena composição onde explicite … Ler mais

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Um teste de escolha múltipla

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 64

Enunciado

Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas possíveis, só uma sendo correta, um aluno, que não tinha estudado, decide responder ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. não acertar nenhuma?
  2. acertar em pelo menos uma?
  3. acertar em todas?
  4. acertar em 3, no máximo?

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Uma urna contém seis bolas

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 63

Enunciado

Uma urna contém 6 bolas, cada uma das quais tem uma letra A, B, C, D, E ou F.

Estas letras são igualmente os vértices do hexágono regular representado ao lado.

  1. Tiram-se, ao acaso e simultaneamente, três bolas e anotam-se as letras inscritas.
    Qual é o espaço de resultados?
  2. A cada extração corresponde um triângulo T, cujos vértices são também vértices do hexágono.
    Determine a probabilidade de cada um dos acontecimentos seguintes e descreva, em cada caso,
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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Latas de Coca-Cola e Ice Tea

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 62

Enunciado

A professora de Matemática do 12.º X propôs o seguinte problema à turma:

“Uma grade tem doze compartimentos para colocar latas de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos arrumar sete latas na grade, sabendo que quatro delas são de Coca-Cola (e, portanto, indistinguíveis) e as restantes são de Ice Tea (uma de limão, uma de pêssego e outra de manga).”

A Maria e o Pedro foram os primeiros a responder com segurança. Os resultados que … Ler mais

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12.º Ano / Aplicando / Probabilidades e combinatória

Números da TMN

Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 61

Enunciado

Como é sabido, os números de telemóvel da operadora TMN têm 9 algarismos começando sempre por 96.

Quantos desses números são múltiplos de dez e têm todos os algarismos deferentes?

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