Um cone de revolução
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68
Enunciado
Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.
Sabe-se que:
- A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
- [AC] e [BD] são diâmetros da base.
- O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
- O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
- O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
- Sabendo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4.
- Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V e cuja intersecção com o plano xOy é a base do cone.
- Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo BVD, determine o valor de $sen\,\alpha $.
Resolução
Para $x=0\wedge z=0$, vem $4\times 0+4y+3\times 0=12\Leftrightarrow y=3$. Logo, $B\,(0,3,0)$.
Para $y=0\wedge z=0$, vem $4x+4\times 0+3\times 0=12\Leftrightarrow x=3$. Logo, $A\,(3,0,0)$.
Para $x=0\wedge y=0$, vem $4\times 0+4\times 0+3z=12\Leftrightarrow z=4$. Logo, $V\,(0,0,4)$.
Logo, o raio da base é $\overline{OA}=3$ e a altura $\overline{OV}=4$.
- O ponto B é um ponto da superfície da esfera.
Logo, o raio dessa esfera é $r=\overline{VB}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$.Assim, uma condição que define essa esfera é ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}\le 25$.
- Ora,
\[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{25}\times \sqrt{25}}=\frac{-9+16}{25}=\frac{7}{25}\]Logo, \[sen\,\alpha =+\sqrt{1-{{\left( \frac{7}{25} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\frac{\sqrt{576}}{25}\]
O co-seno de $\alpha $ é positivo, pois o ângulo BVD é agudo.
Como $V(0,0,4)$, $B(0,3,0)$ e $D(0,-3,0)$, então $\overline{OB}=3$ e $\overline{OV}=4$.
Logo, $tg\,(O\hat{V}B)=\frac{\overline{OB}}{\overline{OV}}=\frac{3}{4}$, donde $O\hat{V}B=t{{g}^{-1}}(\frac{3}{4})$.
Assim, $\alpha =B\hat{V}D=2\times O\hat{V}B=2\times t{{g}^{-1}}(\frac{3}{4})\simeq 73,7{}^\text{o}$.
Vanessa,
Obrigado pelo reparo.
Já procedi à rectificação (onde estava “5” devia estar “25”, apesar de, na parte final, se ter considerado correctamente “$\cos \alpha =\frac{7}{25}$”):
\[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{-9+16}{5}=\frac{7}{5}\]
foi substituído por
\[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{25}\times \sqrt{25}}=\frac{-9+16}{25}=\frac{7}{25}\]
a mim, o co-seno deu-me negativo
não é 5, é 25 –» cos=7/25