A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: 11.º Ano

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Prove que a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 74 Ex. 8

Enunciado

Prove qua a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno.

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

De uma sucessão sabe-se que ${u_{2011}} = {10^{2011}} + 1$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 71 Ex. 5

Enunciado

Seja $\left( {{u_n}} \right)$ uma sucessão tal que: ${u_{2011}} = {10^{2011}} + 1$.

  1. A sucessão  é um infinitamente grande positivo?
  2. Será $\left( {{u_n}} \right)$ um infinitamente grande negativo?
  3. Será que $\left( {{u_n}} \right)$ não é um infinitamente grande?

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Averigue se a sucessão é um infinitamente grande

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 3

Enunciado

Considere a seguinte afirmação:

“A sucessão de termo geral ${c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}$ é um infinitamente grande.”

Averigue se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 2

Enunciado

Seja $\left( {{b_n}} \right)$ uma sucessão tal que ${b_n} = \frac{{3 – 4n}}{2}$.

  1. Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo, usando a definição e sem usar a definição.
  2. Determine a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão são inferiores a $ – 500$.

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 1

Enunciado

Considere a sucessão de termo geral ${a_n} = {n^2} + 1$.

Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo:

  1. usando a definição;
  2. sem usar a definição.

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 59 Ex. 6

Enunciado

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_n} = \frac{{{r_{n – 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 11

Enunciado

Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$.

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 8

Enunciado

A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

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11.º Ano / Aplicando / Sucessões reais

Uma sucessão de termo geral da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 51 Ex. 8

Enunciado

Encontre uma sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ cujo termo geral seja da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$, com $A$ um número real, tal que:

  1. $\left( {{u_n}} \right)$ seja monótona;
  2. $\left( {{u_n}} \right)$ não seja monótona.

Prove a sua conjetura.

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.

Utilizando a calculadora gráfica, determina quando é que a distância entre os automóveis é mínima.

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11.º Ano / Aplicando / Funções com radicais

A dobra numa folha de papel

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 10

Enunciado

Considere uma folha de papel retangular de comprimento 24 unidades e largura 18 unidades.
Dobramos a folha de papel de modo que o vértice A coincida com o vértice C e vincamos a folha.

Qual é o comprimento do vinco?

  • Sugestão: Comece por dobrar uma folha de papel retangular e descubra as relações entre os vários elementos geométricos.

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