A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)
Prove qua a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno.
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\[{u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}\]
A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é um infinitamente pequeno se e só se $\forall …
Prove que a sucessão de termo geral ${v_n} = \frac{5}{{n + 3}}$ é um infinitamente pequeno.
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\[{v_n} = \frac{5}{{n + 3}}\]
Seja $\delta \in {\mathbb{R}^ + }$.
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {{v_n}} \right| < \delta }& \Leftrightarrow &{\left| {\frac{5}{{n + 3}}} \right| < \delta } \\ …
Seja $\left( {{u_n}} \right)$ uma sucessão tal que: ${u_{2011}} = {10^{2011}} + 1$.
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\[{u_{2011}} = {10^{2011}} + 1\]
Considere a seguinte afirmação:
“A sucessão de termo geral ${c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}$ é um infinitamente grande.”
Averigue se esta afirmação é verdadeira ou falsa.
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\[{c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}\]
A sucessão $\left( {{c_n}} \right)$ é um infinitamente grande …
Seja $\left( {{b_n}} \right)$ uma sucessão tal que ${b_n} = \frac{{3 – 4n}}{2}$.
Considere a sucessão de termo geral ${a_n} = {n^2} + 1$.
Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo:
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\[{a_n} = {n^2} + 1\]
A sucessão de termo geral ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n}$ é limitada? E monótona?
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Ora, ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n + 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{ímpar}}} \\
{n – 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{par}}}
\end{array}} \right.$…
Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_n} = \frac{{{r_{n – 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
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\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_n} = \frac{{{r_{n – 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
A sucessão pode, também, ser definida …
Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$.
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\[{u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}\]
Consideremos duas sucessões, \(\left( …
A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?
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\[{u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)\]
A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é a restrição a $\mathbb{N}$ da função \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \operatorname{sen} \left( …
Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{b_1} = 1} \\
{{b_n} = 1 – {b_{n – 1}},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
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\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{b_1} = 1} \\
{{b_n} = 1 – {b_{n – 1}},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
Comecemos por …
Em relação à sucessão de termo geral ${a_n} = 3n + 5$, prove que é minorada e não é limitada.
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\[{a_n} = 3n + 5\]
Como ${a_{n + 1}} – {a_n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}$, então a sucessão é estritamente crescente.
Assim, o …
Dada a sucessão de termo geral ${d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}$, prove que a sucessão é limitada.
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\[{d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_{n + 1}} – {d_n}}& = &{\frac{{3\left( {n + 1} \right) – 5}}{{\left( {n + 1} …
Encontre uma sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ cujo termo geral seja da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$, com $A$ um número real, tal que:
Prove a sua conjetura.
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\[{u_n} = {\left( …
Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.
Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.…
A função $f$ tem domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ e é definida por $f\left( x \right) = 4{x^2} + 1$.
Simplifica as seguintes expressões com radicais:
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Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:
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Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:
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Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) = – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]
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\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 6x + 5}&{}&{}&{g\left( x \right) = – \frac{{12}}{{x + 3}}}
\end{array}\]
Como ${D_f} …
Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{ – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
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\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x …
Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ …
Mostre que:
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