A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Daily Archive: Abril 9, 2012

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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.

  1. Mostre, analiticamente, que $a \approx 509$ e $b \approx 0,6$, para o caso da população de
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
    a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;
    b) $f(1)<f(5)$.
  2. Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
  3. Como varia o sinal da segunda
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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.

  1. Determine o contradomínio de $f$.
  2. Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
    Escreva uma equação da assíntota oblíqua.
  3. Indique, justificando, quais
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que nos é dada pela função assim definida: $$s(d) = 8,5 \times {10^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)$$

  1. Entre que valores pode variar $d$?
  2. Recorrendo à calculadora, determine a que
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Inscreve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

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