A representação gráfica de uma função real de variável real
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85
Enunciado
Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.
O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.
As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.
- Determine o contradomínio de $f$.
- Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
Escreva uma equação da assíntota oblíqua. - Indique, justificando, quais os extremos da função.
- Determine os valores de $x$ que satisfazem a condição: $f(x) \times f'(x) > 0$.
Resolução
O contradomínio da função é \({{D’}_f} = \left] { – \infty ,0} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right[\).
- Ora, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = m = \frac{{2 – 0}}{{2 – 1}} = 2$, sendo $m$ o declive da reta representada a traço-ponto, única assíntota oblíqua do gráfico da função.Como o ponto de coordenadas $\left( {1,0} \right)$ pertence a essa reta, as suas coordenadas têm de verificar a equação $y = 2x + b$, donde $0 = 2 \times 1 + b \Leftrightarrow b = – 2$.
Logo, $y = 2x – 2$ é a equação reduzida da assíntota oblíqua.
- Máximo relativo: $0$, para $x=-2$, pois $f'(-2)=0$ e $f’$ é positiva à esquerda e negativa à direita de $x=-2$;
Mínimo relativo: $-2$, para $x=0$, pois, ainda que não exista $f'(0)$, temos $f'({0^ – }) < 0$ e $f'({0^ + }) > 0$;
Mínimo relativo: $2$, para $x=1$, pois $f'(1)=0$ e $f’$ é negativa à esquerda e positiva à direita de $x=1$.
- Ora,
$x$ ${ – \infty }$ $-2$ $0$ $1$ ${ + \infty }$ $f(x)$ $-$ $0$ $-$ $-2$ $+$ $2$ $+$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ n.d. $-$ $0$ $+$ $f(x) \times f'(x)$ $-$ $0$ $+$ n.d. $-$ $0$ $+$ Portanto, $f(x) \times f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left] { – 2,0} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[$.
