Uma viga de aço

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que nos é dada pela função assim definida: $$s(d) = 8,5 \times {10^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)$$

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1. Podemos considerar que $d \in \left] {0,255} \right[$, em decímetros.
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2. Para que a depressão seja de 1 decímetro, o peso deve ser colocado a $82,6\,dm$ ou $233,4\,dm$ do 1.º pilar:
   
3. Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {s'(d)}& = &{\left( {8,5 \times {{10}^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)} \right)’} \\
   {}& = &{ – 3 \times 8,5 \times {{10}^{ – 7}}{d^2} + 2 \times 255 \times 8,5 \times {{10}^{ – 7}}d} \\
   {}& = &{ – 2,55 \times {{10}^{ – 6}}{d^2} + 4,335 \times {{10}^{ – 4}}d}
   \end{array}$$
   temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {s'(d) = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
   { – 2,55 \times {{10}^{ – 6}}{d^2} + 4,335 \times {{10}^{ – 4}}d = 0}& \wedge &{d \in \left] {0,255} \right[}
   \end{array}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
   {d\left( {4,335 \times {{10}^{ – 4}} – 2,55 \times {{10}^{ – 6}}d} \right) = 0}& \wedge &{d \in \left] {0,255} \right[}
   \end{array}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{d = 170}
   \end{array}$$
   Logo:

   $d$	$0$		$170$		$255$
   Sinal de $s'(d)$		$-$	$0$	$+$
   Variação de $s$		$ \searrow $	$2,088025$	$ \nearrow $

   $$s(170) = 8,5 \times {10^{ – 7}} \times {170^2}\left( {255 – 170} \right) = 2,088025$$
   É de aproximadamente 2 decímetros o maior valor que a depressão pode tomar, colocando o peso a 170 decímetros do primeiro pilar.