Um triângulo equilátero
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81
Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.
Inscreve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].
Faça-se $\overline {AM} = x$.
Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?
Como o triângulo [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} }}$$ donde $$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{{\overline {QM} }}{x} \Leftrightarrow QM = \sqrt 3 \,x$$
A área do retângulo pode ser expressa por: $$A(x) = \left( {a – 2x} \right) \times \sqrt 3 x$$ com $0 < x < \frac{a}{2}$.
Ora, $$A'(x) = – 2\sqrt 3 x + \sqrt 3 \left( {a – 2x} \right) = \sqrt 3 a – 4\sqrt 3 x$$
Como $A'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 a – 4\sqrt 3 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{4}$, temos:
| $x$ | $0$ | $\frac{a}{4}$ | $\frac{a}{2}$ | ||
| Sinal de $A'(x) = \sqrt 3 a – 4\sqrt 3 x$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| Variação de $A$ | $ \nearrow $ | $\frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}$ | $ \searrow $ |
$$A(\frac{a}{4}) = \left( {a – \frac{a}{2}} \right) \times \sqrt 3 \frac{a}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}$$
A área é máxima para $x = \frac{a}{4}$.
