Águias existentes numa reserva
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90
Enunciado
Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.
Passado um ano, o número de águias era 417.
Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.
- Mostre, analiticamente, que $a \approx 509$ e $b \approx 0,6$, para o caso da população de águias deste parque.
- Adote os valores de $a$ e de $b$ referidos na alínea anterior para determinar o número de águias existentes dois anos antes da primeira contagem realizada.
- Determine a taxa de variação de $P$ para $t=2$ e para $t=4$ anos.
Descreva detalhadamente as conclusões a que se pode chegar perante os dois valores encontrados. - Se não houver catástrofes nem introdução de predadores estranhos ao nicho ecológico onde vivem as águias, qual o número de águias esperado para daqui a muitos, muitos anos?
Resolução
Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.
Passado um ano, o número de águias era 417.
Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P(0) = 318} \\
{P(1) = 417}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{{1 + b}} = 318} \\
{\frac{a}{{1 + \frac{b}{e}}} = 417}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{318 + 318b = 417 + 417\frac{b}{e}} \\
{\frac{a}{{1 + b}} = 318}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\
{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = \frac{{99}}{{318 – \frac{{417}}{e}}}} \\
{\frac{a}{{1 + b}} = 318}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = \frac{{33e}}{{106e – 139}}} \\
{a = 318\left( {1 + \frac{{33e}}{{106e – 139}}} \right)}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\
{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = \frac{{33e}}{{106e – 139}}} \\
{a = \frac{{44202\left( {e – 1} \right)}}{{106e – 139}}}
\end{array}} \right.}&{}&{}&{}
\end{array}$$
Logo, $a = \frac{{44202\left( {e – 1} \right)}}{{106e – 139}} \approx 509$ e $b = \frac{{33e}}{{106e – 139}} \approx 0,6$.
- Considerando $a=509$ e $b=0,6$, vem:$$P(t) = \frac{{509}}{{1 + 0,6{e^{ – t}}}}$$
Dois anos antes da primeira contagem realizada existiam aproximadamente $P( – 2) = \frac{{509}}{{1 + 0,6{e^2}}} \approx 94$ águias.
- Como \[\begin{array}{*{20}{l}}
{P’\left( t \right)}& = &{{{\left( {\frac{{509}}{{1 + 0,6{e^{ – t}}}}} \right)}^\prime }} \\
{}& = &{\frac{{0,6 \times 509{e^{ – t}}}}{{{{\left( {1 + 0,6{e^{ – t}}} \right)}^2}}}} \\
{}& = &{\frac{{305,4 \times {e^{ – t}}}}{{{{\left( {1 + 0,6{e^{ – t}}} \right)}^2}}}}
\end{array}\] então $$P'(2) = \frac{{305,4 \times {e^{ – 2}}}}{{{{\left( {1 + 0,6{e^{ – 2}}} \right)}^2}}} \approx 35$$ e $$P'(4) = \frac{{305,4 \times {e^{ – 4}}}}{{{{\left( {1 + 0,6{e^{ – 4}}} \right)}^2}}} \approx 5$$
A população das águias está a crescer (a derivada é positiva), mas o ritmo de crescimento é cada vez menor.
- Nessas circunstâncias, daqui a muitos, muitos anos é esperado que o número de águias seja 509, pois $$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{509}}{{1 + 0,6{e^{ – t}}}} = \frac{{509}}{{1 + 0,6 \times \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{ – t}}}} = \frac{{509}}{{1 + 0}} = 509$$
