A representação gráfica da derivada de $f$
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86
Enunciado
A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.
A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.
- Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;
b) $f(1)<f(5)$. - Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
- Como varia o sinal da segunda derivada de $f$ no intervalo $\left[ {1,5} \right]$? Justifique a resposta.
Resolução
a) A afirmação é verdadeira, pois ${D_{f’}} = \left[ {1,5} \right]$ e $f$ tem derivada finita nesse intervalo (toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto);b) Como $f'(x)<0$ no intervalo $\left[ {1,5} \right]$, então $f$ é decrescente nesse intervalo.
Logo, $f(1)>f(5)$ e, portanto, a afirmação é falsa.
- O ponto de tangência é $T\left( {2,3} \right)$ e o declive dessa tangente é $m = f'(2) = – 4$.Como o ponto T pertence a essa reta, tem-se para ordenada na origem: $3 = – 4 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 11$.
Logo, $y = – 4x + 11$ é a equação reduzida da reta pedida.
- \(f”(x) > 0\) se $x \in \left[ {1,4} \right[$, pois neste intervalo $f’$ é estritamente crescente;
\(f”(x) < 0\) se $x \in \left] {4,5} \right]$, pois neste intervalo $f’$ é estritamente decrescente;
\(f”(4) = 0\), pois a tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.$x$ $1$ $4$ $5$ Variação de $f’$ $ \nearrow $ $-2$ $ \searrow $ Sinal de $f”$ $+$ $0$ $-$
