Dez máquinas diferentes
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 71
Enunciado
Numa fábrica, funcionam dez máquinas diferentes.
A probabilidade uma qualquer das máquinas avariar durante um mês é $0,1$.
Sabendo que as avarias são independentes, determine a probabilidade dos acontecimentos:
- “Nenhuma máquina avariar durante um mês.”
- “Pelo menos uma das máquinas avariar.”
- “Produzirem-se exatamente duas avarias.”
- “Produzirem-se pelo menos nove avarias.”
Resolução
A variável $X$: “Número de máquinas avariadas, durante um mês” tem distribuição binomial de parâmetros $n=10$ e $p=0,1=\frac{1}{10}$. Assim, temos:
- $$P(X=0)={}^{10}{{C}_{0}}\times {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{0}}\times {{\left( \frac{9}{10} \right)}^{10}}=\frac{3486784401}{10000000000}\approx 0,35$$
- $$p=1-P(X=0)=1-{}^{10}{{C}_{0}}\times {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{0}}\times {{\left( \frac{9}{10} \right)}^{10}}\approx 0,65$$
- $$P(X=2)={}^{10}{{C}_{2}}\times {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{2}}\times {{\left( \frac{9}{10} \right)}^{8}}=45\times \frac{1}{100}\times \frac{43046721}{100000000}\approx 0,19$$
- $$p=P(X=9)+P(X=10)={}^{10}{{C}_{9}}\times {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{9}}\times {{\left( \frac{9}{10} \right)}^{1}}+{}^{10}{{C}_{10}}\times {{\left( \frac{1}{10} \right)}^{10}}\times {{\left( \frac{9}{10} \right)}^{0}}\approx 9,1\times {{10}^{-9}}$$
