Um fabricante de bolas de ténis
Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 73
Enunciado
Um fabricante de bolas de ténis possui três máquinas A, B e C que fornecem respetivamente 10%, 40% e 50% da produção total da sua fábrica.
Um estudo mostrou que a percentagem de bolas defeituosas é 3,5% para a máquina A, 1,5% para a máquina B e 2,2% para a máquina C.
Retira-se, ao acaso, uma bola de uma embalagem.
- Mostre que a probabilidade de que esta bola provenha da máquina C e seja defeituosa é $0,011$.
- Calcule a probabilidade da bola escolhida ser defeituosa.
- Calcule a probabilidade de que esta bola provenha da máquina C, sabendo que ela é defeituosa.
- Tiram-se, sucessivamente, de um lote, 10 bolas de ténis, repondo de cada vez a bola retirada.
Calcule a probabilidade de obter, pelo menos, uma bola defeituosa nas 10 tiragens.
Resolução
| Máquina | A | B | C | Total |
| Percentagem da produção | 10% | 40% | 50% | 100% |
| Percentagem de bolas defeituosas | 3,5% | 1,5% | 2,2% | — |
- Sejam os acontecimentos:
A: “a bola provém da máquina A”
B: “a bola provém da máquina B”
C: “a bola provém da máquina C”
D: “a bola é defeituosa”.A probabilidade pedida é $P(C\cap D)=P(C)\times P(D|C)=0,5\times 0,022=0,011$.
- A probabilidade pedida é $$\begin{array}{*{35}{l}}
P(D) & = & P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D) \\
{} & = & P(A)\times P(D|A)+P(B)\times P(D|B)+P(C)\times P(D|C) \\
{} & = & 0,1\times 0,035+0,4\times 0,015+0,5\times 0,022 \\
{} & = & 0,0205 \\
\end{array}$$ - A probabilidade pedida é $$P(C|D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{0,011}{0,0205}=\frac{110}{205}=\frac{22}{41}$$
- A probabilidade pedida é $p=1-P(X=0)=1-{}^{10}{{C}_{0}}\times {{(0,0205)}^{0}}\times {{(1-0,0205)}^{10}}\approx 0,19$.
