Um sistema de alarme
Definição axiomática e propriedades das probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 74
Enunciado
Uma fábrica está dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princípio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produção. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:
- a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, é $\frac{1}{50}$;
- a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar é $\frac{1}{500}$;
- a probabilidade de ocorrer uma avaria é $\frac{1}{100}$;
Designe-se por A o acontecimento “o alarme é ativado” e por B o acontecimento “a avaria ocorreu”.
- Calcule a probabilidade de, numa jornada de trabalho, uma avaria ocorrer e o alarme ser ativado.
Deduza a probabilidade do alarme ser ativado. - Qual é a probabilidade de, num dia de trabalho, o alarme avariar?
- O alarme acaba de tocar.
Qual é a probabilidade de que tenha ocorrido realmente uma avaria?
Resolução
- a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, é $\frac{1}{50}$; → $P(A\cap \overline{B})=\frac{1}{50}$
- a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar é $\frac{1}{500}$; → $P(\overline{A}\cap B)=\frac{1}{500}$
- a probabilidade de ocorrer uma avaria é $\frac{1}{100}$; → $P(B)=\frac{1}{100}$
Designe-se por A o acontecimento “o alarme é ativado” e por B o acontecimento “a avaria ocorreu”.
Comecemos por anotar os dados numa tabela de dupla entrada:
| $B$ | $\overline{B}$ | Total | |
| $A$ | $\frac{1}{50}$ | ||
| $\overline{A}$ | $\frac{1}{500}$ | ||
| Total | $\frac{1}{100}$ | $1$ |
- A probabilidade de, numa jornada de trabalho, uma avaria ocorrer e o alarme ser ativado, é $$P(A\cap B)=P(B)-P(\overline{A}\cap B)=\frac{1}{100}-\frac{1}{500}=\frac{4}{500}=\frac{1}{125}$$
A probabilidade de o alarme ser ativado é $$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=\frac{4}{500}+\frac{1}{50}=\frac{14}{500}=\frac{7}{250}$$ - A probabilidade de, num dia de trabalho, o alarme avariar é $$P(”\text{o alarme avariar}”)=P(A\cap \overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=\frac{1}{50}+\frac{1}{500}=\frac{11}{500}$$
- A probabilidade de que tenha ocorrido uma avaria, dado que o alarme acaba de tocar, é $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{125}}{\frac{7}{250}}=\frac{2}{7}$$
