Para um exame
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 75
Para um exame, dez examinadores preparam, cada um, duas questões.
As 20 questões são colocadas em envelopes idênticos.
Apresentam-se dois candidatos e cada um escolheu, ao acaso, dois envelopes. Os envelopes escolhidos pelo primeiro candidato não ficam disponíveis para o segundo.
Designe-se por:
- ${{A}_{1}}$: “as duas questões obtidas pelo primeiro candidato provêm do mesmo examinador”;
- ${{A}_{2}}$: “as duas questões obtidas pelo segundo candidato provêm do mesmo examinador”.
Seja $\overline{{{A}_{1}}}$ o acontecimento contrário de ${{A}_{1}}$.
- a) Mostre que a probabilidade de ${{A}_{1}}$ é $\frac{1}{19}$.
b) Calcule diretamente a probabilidade: $P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})$.
c) Mostre que a probabilidade de dois candidatos obterem cada um duas questões provenientes do mesmo examinador é igual a $\frac{1}{323}$.
- a) Calcule $P({{A}_{2}}|\overline{{{A}_{1}}})$.
b) Calcule $P({{A}_{2}})$ e depois mostre que $P({{A}_{1}}\cup {{A}_{2}})=\frac{33}{323}$.
- Seja $X$ a variável aleatória igual ao número de candidatos que escolheram duas questões provenientes de um mesmo examinador.
a) Determine a lei de probabilidade da variável aleatória $X$.
b) Calcule o valor médio e o desvio padrão desta distribuição.
- a)
Há vinte envelopes e o primeiro candidato escolhe dois deles.
Logo, o número de casos possíveis é $NCP={}^{20}{{C}_{2}}=190$ e o número de casos favoráveis é $NCF=10\times {}^{2}{{C}_{2}}=10$.
Portanto, a probabilidade pedida é $$P({{A}_{1}})=\frac{10\times {}^{2}{{C}_{2}}}{{}^{10}{{C}_{2}}}=\frac{10}{190}=\frac{1}{19}$$b)
$P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})$ significa: a probabilidade de “as duas questões obtidas pelo segundo candidato provêm do mesmo examinador”, dado que “as duas questões obtidas pelo primeiro candidato provêm do mesmo examinador”.
Se o primeiro candidato retira duas questões provenientes do mesmo examinador, sobram 18 questões, cada duas delas elaboradas por um de nove examinadores diferentes.
Assim, o segundo candidato pode obter as duas questões de $NCP={}^{18}{{C}_{2}}=153$ maneiras diferentes, sendo $NCF=9\times {}^{2}{{C}_{2}}=9$ delas favoráveis a serem provenientes do mesmo examinador.
Logo, $$P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=\frac{9\times {}^{2}{{C}_{2}}}{{}^{18}{{C}_{2}}}=\frac{9}{153}=\frac{1}{17}$$c)
A probabilidade pedida é $$P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}})\times P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=\frac{1}{19}\times \frac{1}{17}=\frac{1}{323}$$ - a)
(De forma análoga à resolução de 1-b))
Se o primeiro candidato retira duas questões não provenientes do mesmo examinador, sobram 18 questões, mas apenas 8 pares delas são provenientes de um mesmo examinador.
Assim, $$P({{A}_{2}}|\overline{{{A}_{1}}})=\frac{8\times {}^{2}{{C}_{2}}}{{}^{18}{{C}_{2}}}=\frac{8}{153}$$b)
Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
P({{A}_{2}}) & = & P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})+P(\overline{{{A}_{1}}}\cap {{A}_{2}}) \\
{} & = & P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})+P(\overline{{{A}_{1}}})\times P({{A}_{2}}|\overline{{{A}_{1}}}) \\
{} & = & \frac{1}{323}+(1-\frac{1}{19})\times \frac{8}{153} \\
{} & = & \frac{1}{323}+\frac{18}{19}\times \frac{8}{153} \\
{} & = & \frac{1}{19} \\
\end{array}$$
Logo, $$\begin{array}{*{35}{l}}
P({{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}) & = & P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}})-P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}) \\
{} & = & \frac{1}{19}+\frac{1}{19}-\frac{1}{323} \\
{} & = & \frac{33}{323} \\
\end{array}$$ - a)
Ao exame apresentam-se apenas dois candidatos.
Ora, ambos podem retirar questões provenientes de examinadores diferentes; ou, apenas um deles retirar duas questões elaboradas pelo mesmo examinador; ou, por último, ambos retirararem um par de questões elaboradas pelo mesmo examinador.
Logo, a variável aleatória $X$ pode assumir os valores: $0$, $1$ e $2$.Comecemos por anotar, numa tabela de dupla entrada, algumas das probabilidades conhecidas:
${{A}_{2}}$ $\overline{{{A}_{2}}}$ Total ${{A}_{1}}$ $\frac{1}{323}$ $\frac{16}{323}$ $\frac{1}{19}$ $\overline{{{A}_{1}}}$ $\frac{16}{323}$ Total $\frac{1}{19}$ $1$ Entretanto (será útil mais à frente), temos:$$P(\overline{{{A}_{1}}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}}\cap \overline{{{A}_{2}}})=\frac{1}{19}-\frac{1}{323}=\frac{16}{323}$$
Cálculo das probabilidades:
$$P(X=0)=P(\overline{{{A}_{1}}}\cap \overline{{{A}_{2}}})=P(\overline{{{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}})=1-P({{A}_{1}}\cup {{A}_{2}})=1-\frac{33}{323}=\frac{290}{323}$$
$$P(X=1)=P({{A}_{1}}\cap \overline{{{A}_{2}}})+P(\overline{{{A}_{1}}}\cap {{A}_{2}})=\frac{16}{323}+\frac{16}{323}=\frac{32}{323}$$
$$P(X=2)=P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})=\frac{1}{323}$$
Logo, a distribuição de probabilidades da variável aleatória é:
${{x}_{i}}$ $0$ $1$ $2$ $P(X={{x}_{i}})$ $\frac{290}{323}$ $\frac{32}{323}$ $\frac{1}{323}$ b)
O valor médio e o desvio padrão desta distribuição são, respectivamente:
$$\mu =\frac{290}{323}\times 0+\frac{32}{323}\times 1+\frac{1}{323}\times 2=\frac{34}{323}=\frac{2}{19}$$
$$\sigma =\sqrt{\frac{290}{323}\times {{\left( 0-\frac{2}{19} \right)}^{2}}+\frac{32}{323}\times {{\left( 1-\frac{2}{19} \right)}^{2}}+\frac{1}{323}\times {{\left( 2-\frac{2}{19} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{11704}{116603}}=\sqrt{\frac{616}{6137}}=\frac{2\sqrt{2618}}{323}\approx 0,32$$
