Número de habitantes de um certo país

Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$

com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.

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1.  Como $$\begin{array}{*{35}{l}}
   N(0) & = & \frac{100}{1+9\times {{e}^{0}}}  \\
   {} & = & \frac{100}{10}  \\
   {} & = & 10  \\
   \end{array}$$
   em 2000, o número de habitantes era 10 milhões.
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2. Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
   N(t)=2\times N(0) & \Leftrightarrow  & \frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}=2\times 10  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}=5  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{e}^{-0,18\,t}}=\frac{4}{9}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -0,18\,t=\ln \frac{4}{9}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & t=-\frac{50}{9}\ln \frac{4}{9}  \\
   \end{array}$$
   Como $-\frac{50}{9}\ln \frac{4}{9}\approx 4,505$, a população duplicou no mês de julho de 2004.
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3. Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
   N(t)=45 & \Leftrightarrow  & \frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}=45  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}=\frac{20}{9}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{e}^{-0,18\,t}}=\frac{11}{81}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -0,18\,t=\ln \frac{11}{81}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & t=-\frac{50}{9}\ln \frac{11}{81}  \\
   \end{array}$$
   Como $-\frac{50}{9}\ln \frac{11}{81}\approx 11,092$, conclui-se que serão atingidos 45 milhões de habitantes no ano de 2011.
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4. Se $t\to +\infty $, então ${{e}^{-0,18\,t}}\to 0$.Logo, se $t\to +\infty $, então $N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}\to \frac{100}{1}=100$.

   Portanto, continuando válido o modelo e a longo prazo, o número de habitantes será próximo de 100 milhões.
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