Caraterize a função inversa

• $f:x\to 1+{{2}^{x}}$

Comecemos por determinar o domínio da função:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{f}}=D{{‘}_{{{f}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\}  \\
{} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}$$

 Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
y=1+{{2}^{x}} & \Leftrightarrow  & {{2}^{x}}=y-1  \\
{} & \Leftrightarrow  & x={{\log }_{2}}(y-1)  \\
\end{array}$$

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{f}^{-1}}}}=D{{‘}_{f}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x-1>0 \right\}  \\
{} & = & \left] 1,+\infty  \right[  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{f}^{-1}}: & \left] 1,+\infty  \right[\to \mathbb{R}  \\
{} & x\to {{\log }_{2}}(x-1)  \\
\end{array}\]

• $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{g}}=D{{‘}_{{{g}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:3-5x>0 \right\}  \\
{} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x<\frac{3}{5} \right\}  \\
{} & = & \left] -\infty ,\frac{3}{5} \right[  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
y={{\log }_{2}}(3-5x) & \Leftrightarrow  & 3-5x={{2}^{y}}  \\
{} & \Leftrightarrow  & x=\frac{3-{{2}^{y}}}{5}  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{g}^{-1}}}}=D{{‘}_{g}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\}  \\
{} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{g}^{-1}}: & \mathbb{R}\to \left] -\infty ,\frac{3}{5} \right[  \\
{} & x\to \frac{3-{{2}^{x}}}{5}  \\
\end{array}\]

• $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{h}}=D{{‘}_{{{h}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:(-x+2)\in \mathbb{R} \right\}  \\
{} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
y=4-3{{e}^{-x+2}} & \Leftrightarrow  & {{e}^{-x+2}}=\frac{4-y}{3}  \\
{} & \Leftrightarrow  & -x+2=\ln \left( \frac{4-y}{3} \right)  \\
{} & \Leftrightarrow  & x=2-\ln \left( \frac{4-y}{3} \right)  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{h}^{-1}}}}=D{{‘}_{h}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:\frac{4-x}{3}>0 \right\}  \\
{} & = & \left] -\infty ,4 \right[  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{h}^{-1}}: & \left] -\infty ,4 \right[\to \mathbb{R}  \\
{} & x\to 2-\ln \left( \frac{4-x}{3} \right)  \\
\end{array}\]

• $j:x\to 4-\ln (1-2x)$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{j}}=D{{‘}_{{{j}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:1-2x>0 \right\}  \\
{} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x<\frac{1}{2} \right\}  \\
{} & = & \left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
y=4-\ln (1-2x) & \Leftrightarrow  & \ln (1-2x)=4-y  \\
{} & \Leftrightarrow  & 1-2x={{e}^{4-y}}  \\
{} & \Leftrightarrow  & x=\frac{1-{{e}^{4-y}}}{2}  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{j}^{-1}}}}=D{{‘}_{j}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:(4-x)\in \mathbb{R} \right\}  \\
{} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{j}^{-1}}: & \mathbb{R}\to \left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[  \\
{} & x\to \frac{1-{{e}^{4-x}}}{2}  \\
\end{array}\]