A área do triângulo [AMC]
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 6
Considera um triângulo [ABC], retângulo em B, e o ponto médio M de [AB].
Sabendo que \(B\widehat AC = 60^\circ \) e que \(\overline {AC} = 6\) cm, determina o valor exato da área do triângulo [AMC]
No triângulo retângulo [ABC], vem \(\cos B\widehat AC = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AC} }}\), donde:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 60^\circ = \frac{{\overline {AB} }}{6}}& \Leftrightarrow &{\frac{1}{2} = \frac{{\overline {AB} }}{6}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = 3}\end{array}\]
Ainda no triângulo [ABC], vem \({\mathop{\rm sen}\nolimits} B\widehat AC = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}\), donde:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 60^\circ = \frac{{\overline {BC} }}{6}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\overline {BC} }}{6}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = 3\sqrt 3 }\end{array}\]
Em alternativa, vem por aplicação do Teorema de Pitágoras: \(\overline {BC} = \sqrt {{{\overline {AC} }^2} – {{\overline {AB} }^2}} = \sqrt {{6^2} – {3^2}} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \)
Logo, em centímetros quadrados, a área do triângulo [AMC] é:
\[{A_{\left[ {AMC} \right]}} = \frac{{\overline {AM} \times \overline {BC} }}{2} = \frac{{1,5 \times 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\]
