Um depósito num banco

Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão

$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$

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1. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n=1$ e $t=10$, tem-se: $$C(10)=1000{{\left( 1+\frac{0,04}{1} \right)}^{10}}\approx 1480,244285$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1480,244$ €.
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2. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n=4$ e $t=10$, tem-se: $$C(10)=1000{{\left( 1+\frac{0,04}{4} \right)}^{40}}\approx 1488,863734$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1488,864$ €.
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3. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n=12$ e $t=10$, tem-se: $$C(10)=1000{{\left( 1+\frac{0,04}{12} \right)}^{120}}\approx 1490,832682$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1490,833$ €.
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4. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n=24\times 365=8760$ e $t=10$, tem-se: $$C(10)=1000{{\left( 1+\frac{0,04}{8760} \right)}^{87600}}\approx 1491,823329$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1491,823$ €.
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5. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n=60\times 24\times 365=525600$ e $t=10$, tem-se: $$C(10)=1000{{\left( 1+\frac{0,04}{525600} \right)}^{5256000}}\approx 1491,824669$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1491,82467$ €.
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6. Como ${{C}_{0}}=1000$, $r=0,04$, $n\to +\infty $ e $t=10$, tem-se: $$\begin{array}{*{35}{l}}
   C(10) & = & \lim \left[ 1000{{\left( 1+\frac{0,04}{n} \right)}^{10n}} \right]  \\
   {} & = & 1000\times \lim {{\left[ {{\left( 1+\frac{1}{25n} \right)}^{25n}} \right]}^{\frac{2}{5}}}  \\
   {} & = & 1000\times {{\left[ \lim {{\left( 1+\frac{1}{25n} \right)}^{25n}} \right]}^{\frac{2}{5}}}  \\
   {} & = & 1000\times {{e}^{\frac{2}{5}}}  \\
   {} & = & 1000\times \sqrt[5]{{{e}^{2}}}  \\
   {} & \approx  & 1491,824698  \\
   \end{array}$$
   Nesta situação, o capital acumulado após 10 anos é, aproximadamente, $1491,82470$ €.
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RECORDE:
$$\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e$$
$$\lim {{\left( 1+\frac{k}{n} \right)}^{n}}={{e}^{k}}$$

Prova:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{k}{n} \right)}^{n}} & = & \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{k}} \right)}^{n}}  \\
{} & = & \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ {{\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{k}} \right)}^{\frac{n}{k}}} \right]}^{k}}  \\
{} & = & {{\left[ \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\frac{n}{k}} \right)}^{\frac{n}{k}}} \right]}^{k}}  \\
{} & = & {{\left[ \underset{m\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}} \right]}^{k}}  \\
{} & = & {{e}^{k}}  \\
\end{array}$$