A população de uma cidade

by AMMA · Published 19 de Janeiro de 2012 · Updated 30 de Dezembro de 2021

Enunciado

A população de uma cidade aumenta 5% por ano.

Supõe-se que no início de 1990 a população era de 100.000 habitantes.

Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
Qual o valor de $P(1)$?
Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e $P(n+1)$ e, em seguida, deduza a expressão de $P(n)$ em função de $n$.
Qual será o número de habitantes da referida cidade no início do ano 2010?
A partir de que ano será o número de habitantes da cidade superior a 200.000?

Resolução

Ora, $P(1)={{P}_{1990}}=100000={{10}^{5}}$.
Como a população da cidade aumenta 5% por ano, tem-se: $P(n+1)=P(n)+0,05\times P(n)=1,05\times P(n)$.
$$\begin{array}{*{35}{l}}
P(2) & = & 1,05\times P(1) & {} & {} \\
P(3) & = & 1,05\times P(2) & = & {{1,05}^{2}}\times P(1) \\
P(4) & = & 1,05\times P(3) & = & {{1,05}^{3}}\times P(1) \\
… & {} & … & {} & … \\
P(n) & = & 1,05\times P(n-1) & = & {{1,05}^{n-1}}\times P(1) \\
\end{array}$$
Como $P(1)={{10}^{5}}$, então $P(n)={{10}^{5}}\times {{1,05}^{n-1}}$.
No início de 2010, o número de habitantes da referida cidade é ${{P}_{2010}}=P(21)={{10}^{5}}\times {{1,05}^{20}}\approx 265330$, aproximadamente.
Ora, $$\begin{matrix}
\begin{array}{*{35}{l}}
P(n)>2\times {{10}^{5}} & \Leftrightarrow & {{10}^{5}}\times {{1,05}^{n-1}}>2\times {{10}^{5}} \\
{} & \Leftrightarrow & {{1,05}^{n-1}}>2 \\
{} & \Leftrightarrow & n-1>{{\log }_{1,05}}2 \\
{} & \Leftrightarrow & n>1+{{\log }_{1,05}}2 \\
{} & \Leftrightarrow & n>1+\frac{\ln 2}{\ln 1,05} \\
\end{array} \\
{} \\
{} \\
\end{matrix}$$
Como $1+\frac{\ln 2}{\ln 1,05}\approx 15,2$, o número de habitantes da cidade será superior a 200.000 a partir de 2005 (1989+16).