Aplicando a fórmula da mudança de base
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 49 Ex. 24
- Aplicando a fórmula da mudança de base, represente graficamente cada uma das funções, na calculadora:
${{y}_{1}}={{\log }_{2}}(x+3)$
${{y}_{2}}={{\log }_{3}}(2-x)$
${{y}_{3}}={{\log }_{5}}\sqrt{x-3}$
- Indique o domínio de cada função e equações das assíntotas dos seus gráficos.
- Explique como pode obter cada um dos gráficos a partir do gráfico de $y=\ln x$.
-
$\begin{array}{*{35}{l}}
{{y}_{1}} & = & {{\log }_{2}}(x+3) \\
{} & = & \frac{\ln (x+3)}{\ln 2} \\
\end{array}$$\begin{array}{*{35}{l}}
{{y}_{2}} & = & {{\log }_{3}}(2-x) \\
{} & = & \frac{\ln (2-x)}{\ln 3} \\
\end{array}$$\begin{array}{*{35}{l}}
{{y}_{3}} & = & {{\log }_{5}}\sqrt{x-3} \\
{} & = & \frac{\ln \sqrt{x-3}}{\ln 5} \\
{} & = & \frac{1}{2}\times \frac{\ln (x-3)}{\ln 5} \\
{} & = & \frac{\ln (x-3)}{2\ln 5} \\
\end{array}$
- Temos, para cada uma das funções:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{y}_{1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x+3>0 \right\} \\
{} & = & \left] -3,+\infty \right[ \\
\end{array}\]
Equação da assíntota vertical do gráfico de ${{y}_{1}}$: $x=-3$.\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{y}_{2}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:2-x>0 \right\} \\
{} & = & \left] -\infty ,2 \right[ \\
\end{array}\]
Equação da assíntota vertical do gráfico de ${{y}_{2}}$: $x=2$.\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{D}_{{{y}_{3}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x-3>0 \right\} \\
{} & = & \left] 3,+\infty \right[ \\
\end{array}\]
Equação da assíntota vertical do gráfico de ${{y}_{3}}$: $x=3$.
- O gráfico de ${{y}_{1}}$ pode ser obtido do gráfico de $y=\ln x$ por uma translação associada ao vetor $\overrightarrow{u}=(-3,0)$ e dilatação de fator $\frac{1}{\ln 2}$.
O gráfico de ${{y}_{2}}=\frac{\ln (-(x-2))}{\ln 3}$ pode ser obtido do gráfico de $y=\ln x$ por uma translação associada ao vetor $\overrightarrow{v}=(2,0)$ seguida de uma simetria em relação à reta de equação $x=2$, seguida de uma compressão de fator $\frac{1}{\ln 3}$.
O gráfico de ${{y}_{3}}$ pode ser obtido do gráfico de $y=\ln x$ por uma translação associada ao vetor $\overrightarrow{w}=(3,0)$ e compressão de fator $\frac{1}{2\ln 5}$.
