Considere a função

Considere a função $$g:x\to 1+{{\log }_{3}}(2-5x)$$

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1.  Comecemos por determinar o domínio de $g$: \[\begin{array}{*{35}{l}}    {{D}_{g}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:2-5x>0 \right\}  \\    {} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x<\frac{2}{5} \right\}  \\    {} & = & \left] -\infty ,\frac{2}{5} \right[  \\ \end{array}\] Determinemos, agora, os zeros de $g$: \[\begin{array}{*{35}{l}}    g(x)=0 & \Leftrightarrow  & 1+{{\log }_{3}}(2-5x)=0  \\    {} & \Leftrightarrow  & {{\log }_{3}}(2-5x)=-1  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    2-5x={{3}^{-1}} & \wedge  & x\in {{D}_{g}}  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    2-5x=\frac{1}{3} & \wedge  & x\in {{D}_{g}}  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    6-15x=1 & \wedge  & x\in {{D}_{g}}  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{1}{3} & \wedge  & x\in \left] -\infty ,\frac{2}{5} \right[  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & x=\frac{1}{3}  \\ \end{array}\] A função apenas possui um zero: $x=\frac{1}{3}$.
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2.   a) \[\begin{array}{*{35}{l}}    g(x)\le 3 & \Leftrightarrow  & 1+{{\log }_{3}}(2-5x)\le 3  \\    {} & \Leftrightarrow  & {{\log }_{3}}(2-5x)\le 2  \\    {} & \Leftrightarrow  & {{\log }_{3}}(2-5x)\le {{\log }_{3}}{{3}^{2}}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    2-5x\le 9 & \wedge  & x\in {{D}_{g}}\,\,\,\,(\text{pois }x\to {{\log }_{3}}x\text{  }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{  estritamente crescente})  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    x\ge -\frac{7}{5} & \wedge  & x\in \left] -\infty ,\frac{2}{5} \right[  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & x\in \left[ -\frac{7}{5},\frac{2}{5} \right[  \\ \end{array}\]   b) \[\begin{array}{*{35}{l}}    g(x)>1 & \Leftrightarrow  & 1+{{\log }_{3}}(2-5x)>1  \\    {} & \Leftrightarrow  & {{\log }_{3}}(2-5x)>0  \\    {} & \Leftrightarrow  & {{\log }_{3}}(2-5x)>{{\log }_{3}}1  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    2-5x>1 & \wedge  & x\in {{D}_{g}}\,\,\,\,(\text{pois }x\to {{\log }_{3}}x\text{  }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{  estritamente crescente})  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}    x<\frac{1}{5} & \wedge  & x\in \left] -\infty ,\frac{2}{5} \right[  \\ \end{array}  \\    {} & \Leftrightarrow  & x\in \left] -\infty ,\frac{1}{5} \right[  \\ \end{array}\]
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3. Os valores obtidos na calculadora sugerem a validação dos resultados encontrados: