A escala de Richter
Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 6
Charles Richter e o seu sismógrafo
A escala de Richter permite converter a amplitude máxima dos registos feitos por um sismógrafo num número que nos permite estabelecer uma medida para a magnitude $M$ de um sismo.
Naquela escala, um sismo de nível zero é aquele em que a amplitude máxima dos registos dos sismógrafos situados a $100$ km do epicentro é $0,001$ milímetros.
A magnitude $M$ de um sismo em que o sismógrafo situado a $100$ km do epicentro regista amplitudes máximas de $x$ milímetros é dada, em função de $x$, por:
$$M(x)=\log \left( \frac{x}{{{10}^{-3}}} \right)$$
- Mostre que $M(x)=3+\log x$.
- Qual é, na escala de Richter, a magnitude de um terramoto que provoca um registo de $10$ mm de amplitude?
- Qual a amplitude máxima do gráfico desenhado por um sismógrafo situado a $100$ km do epicentro, se a magnitude do sismo for $6$?
- Se a amplitude máxima do registo num sismo A for 10 vezes a amplitude máxima registada num sismo B, o que podemos afirmar acerca das magnitudes destes sismos?
A magnitude $M$ de um sismo em que o sismógrafo situado a $100$ km do epicentro regista amplitudes máximas de $x$ milímetros é dada, em função de $x$, por:
$$M(x)=\log \left( \frac{x}{{{10}^{-3}}} \right)$$
- De facto, tem-se:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
M(x) & = & \log \left( \frac{x}{{{10}^{-3}}} \right) \\
{} & = & \log x-\log {{10}^{-3}} \\
{} & = & \log x-(-3) \\
{} & = & 3+\log x \\
\end{array}$$
- Ora, $M(10)=3+\log 10=3+1=4$.
Portanto, na escala de Richter, é de magnitude 4 um terramoto que provoca um registo de $10$ mm de amplitude.
- Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
M(x)=6 & \Leftrightarrow & 3+\log x=6 \\
{} & \Leftrightarrow & \log x=3 \\
{} & \Leftrightarrow & x={{10}^{3}} \\
{} & \Leftrightarrow & x=1000 \\
\end{array}$$
Se a magnitude do sismo for $6$, é de $1000$ mm a amplitude máxima do gráfico desenhado por um sismógrafo situado a $100$ km do epicentro.
- Tabelando os dados, temos:
Sismo B Sismo A Amplitude máxima ${{x}_{B}}$ ${{x}_{A}}=10{{x}_{B}}$ Magnitude ${{M}_{B}}=M({{x}_{B}})$ ${{M}_{A}}=M({{x}_{A}})=M(10{{x}_{B}})$ Ora, ${{M}_{B}}=3+\log {{x}_{B}}$.
Por outro lado, tem-se: $${{M}_{A}}=3+\log \left( 10{{x}_{B}} \right)=3+\log 10+\log {{x}_{B}}=3+1+\log {{x}_{B}}=4+\log {{x}_{B}}={{M}_{B}}+1$$
Portanto, a magnitude do sismo A tem mais uma unidade do que a do sismo B.
