Tagged: derivada

0

Uma bola desce um plano inclinado

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5

Enunciado

Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.

A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]

  1. Represente
Determine a expressão designatória da função derivada 1

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times
0

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer
Numa empresa 0

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln
0

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …

0

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
0

Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} …

0

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
Piza 0

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em …

0

A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em
Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções 0

Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 88

Enunciado

Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to {e^{ – 4x}}$
     
  2. $f:x \to {e^{\sqrt {2 + x} }}$
     
  3. $f:x \to {e^x}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)$
     
  4. $f:x \to {e^{\frac{1}{x}}} + {e^{ – \frac{1}{x}}}$
     
  5. $f:x \to \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} +
0

Considere a curva $C$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 53

Enunciado

Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$

  1. Determine as abcissas dos pontos da curva de ordenada 1.
     
  2. Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva nos pontos obtidos na alínea anterior.
     
  3. Determine as coordenadas do ponto de interseção
0

Uma esfera metálica

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 51

Enunciado

Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.

A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.

Uma posição $-1$ significa que a …

Esboce o gráfico das funções 0

Esboce o gráfico das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 39

Enunciado

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \frac{1}{2}{x^2}$ e $g(x) = f(x) + 3$ no mesmo referencial.

O que pode dizer a respeito dos declives das retas tangentes aos dois gráficos nos pontos de abcissa $0$, $2$ e ${x_0}$? Porquê?

Resolução >> Resolução

var parameters = { …

Recorrendo à definição de derivada 0

Recorrendo à definição de derivada

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 37

Enunciado

 Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, calcule a derivada de $f$ em $a$:

  1. $f:x \to 2{x^2} – 3x$, em $a =  – 1$;
     
  2. $f:x \to {x^3} – 1$, em $a = 0$ e em $a = 1$;
     
  3. $f:x \to \frac{1}{{{x^2}}}$, em $a = 
0

SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
Desenhe os gráficos das funções 2

Desenhe os gráficos das funções

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 195 Ex. 41

Enunciado

  1. Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$  e  $g:x\to {{x}^{3}}$.
     
    Considerando o recângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamentodas duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
     
  2. Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada
0

Do terraço de um prédio lançou-se uma bola

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 37

Enunciado

Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]

  1. Qual é a altura do terraço?
     
  2. Qual o intervalo de tempo em
0

A lei de Boyle

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 36

Enunciado

A lei de Boyle afirma que, se a temperatura permanece constante, a pressão $p$ e o volume $v$ (em m3) de um certo gás dentro de um recipiente estão relacionados pela expressão
\[p=\frac{200}{v}\]

Determine a taxa de variação de $p$ em relação a $v$ para …

0

Um balão esférico está a ser insuflado

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 35

Enunciado

Um balão esférico está a ser insuflado.

Determine a taxa de variação da área $S$ da superfície do balão em relação ao raio $r$:

  1. para $r=1$;
     
  2. para $r=5$.

Nota: A área da superfície esférica é dada por $A=4\pi {{r}^{2}}$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $A'(r)=(4\pi {{r}^{2}})’=8\pi r$.
    Logo,