Tagged: derivada
Determine a expressão designatória da função derivada
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19
Enunciado
Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:
- $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
- $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
- $h:\theta \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $
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-
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
{}& = &{2 \times
Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99
Enunciado
Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$
- Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
- O que se pode dizer
Numa empresa
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98
Enunciado
Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.
- Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln
Um fio encontra-se suspenso entre dois postes
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96
Um novo analgésico: o AntiDor
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94
Resolução
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.
A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$
- Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
Reprodução de duas espécies vegetais
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93
Enunciado
Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} …
Capacidade pulmonar de um ser humano
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92
Enunciado
Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$
- Caraterize a função derivada $f’$.
- Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91
Enunciado
Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.
Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.
Sabe-se que a temperatura $A$ (em …
A representação gráfica da derivada de $f$
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86
Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 88
Enunciado
Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções:
- $f:x \to {e^{ – 4x}}$
- $f:x \to {e^{\sqrt {2 + x} }}$
- $f:x \to {e^x}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)$
- $f:x \to {e^{\frac{1}{x}}} + {e^{ – \frac{1}{x}}}$
- $f:x \to \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} +
Considere a curva $C$
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 216 Ex. 53
Enunciado
Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$
- Determine as abcissas dos pontos da curva de ordenada 1.
- Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva nos pontos obtidos na alínea anterior.
- Determine as coordenadas do ponto de interseção
Uma esfera metálica
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 215 Ex. 51
Enunciado
Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.
A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.
Uma posição $-1$ significa que a …
Esboce o gráfico das funções
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 39
Enunciado
Esboce o gráfico das funções $f(x) = \frac{1}{2}{x^2}$ e $g(x) = f(x) + 3$ no mesmo referencial.
O que pode dizer a respeito dos declives das retas tangentes aos dois gráficos nos pontos de abcissa $0$, $2$ e ${x_0}$? Porquê?
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var parameters = { …
Recorrendo à definição de derivada
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 37
Enunciado
Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, calcule a derivada de $f$ em $a$:
- $f:x \to 2{x^2} – 3x$, em $a = – 1$;
- $f:x \to {x^3} – 1$, em $a = 0$ e em $a = 1$;
- $f:x \to \frac{1}{{{x^2}}}$, em $a =
SURF, Fresco e Natural
Enunciado
Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.
Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.
- Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada
Desenhe os gráficos das funções
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 195 Ex. 41
Enunciado
- Desenhe os gráficos das funções: $f:x\to {{x}^{3}}-12x+2$ e $g:x\to {{x}^{3}}$.
Considerando o recângulo de visualização [-100, 100] por [-500, 500], pronuncie-se sobre o comportamentodas duas funções para valores muito grandes de $\left| x \right|$.
- Resolva as equações $\frac{df}{dx}=0$ e $\frac{dg}{dx}=0$ e procure os extremos relativos de cada
Do terraço de um prédio lançou-se uma bola
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 37
Enunciado
Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]
- Qual é a altura do terraço?
- Qual o intervalo de tempo em
A lei de Boyle
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 36
Enunciado
A lei de Boyle afirma que, se a temperatura permanece constante, a pressão $p$ e o volume $v$ (em m3) de um certo gás dentro de um recipiente estão relacionados pela expressão
\[p=\frac{200}{v}\]
Determine a taxa de variação de $p$ em relação a $v$ para …
Um balão esférico está a ser insuflado
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 35
Enunciado
Um balão esférico está a ser insuflado.
Determine a taxa de variação da área $S$ da superfície do balão em relação ao raio $r$:
- para $r=1$;
- para $r=5$.
Nota: A área da superfície esférica é dada por $A=4\pi {{r}^{2}}$.
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- Ora, $A'(r)=(4\pi {{r}^{2}})’=8\pi r$.
Logo,
Um atleta percorre uma pista de 100 metros
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 34
Enunciado
Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo a que a distância d(t), em metros, percorrida após t segundos, é dada por:
\[d(t)=0,2{{t}^{2}}+8t\]
Determine o valor da velocidade do atleta:
- no início da corrida;
- quando $t=10$ s;
- ao chegar à meta.
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- A
Um projéctil é lançado do solo
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 193 Ex. 33
Enunciado
Um projéctil é lançado do solo, verticalmente, com uma velocidade inicial de 115 m/s. Após $t$ segundos a sua distância $d$ ao solo é dada por:
\[d(t)=115t-5{{t}^{2}}\]
- Determine o valor da velocidade nos instantes $t=2$ e $t=3$.
- Quando é que o projéctil atinge o solo?
Determine o
