Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.

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1. A diferença de alturas dos dois postes é, aproximadamente, $\Delta h = f(30) – f(0) = 5\left( {{e^{ – 2}} + {e^2}} \right) – 5\left( {{e^1} + {e^{ – 1}}} \right) \approx 22,2$ metros.
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2. Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'(x)}& = &{{{\left[ {5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)} \right]}^\prime }} \\
   {}& = &{5\left( { – 0,1 \times {e^{1 – 0,1x}} + 0,1 \times {e^{0,1x – 1}}} \right)} \\
   {}& = &{0,5\left( {{e^{0,1x – 1}} – {e^{1 – 0,1x}}} \right)}
   \end{array}\]
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{0,5\left( {{e^{0,1x – 1}} – {e^{1 – 0,1x}}} \right) = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^{0,1x – 1}} = {e^{1 – 0,1x}}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{0,1x – 1 = 1 – 0,1x} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x = 10}
   \end{array}$$

   $x$	$0$		$10$		$30$
   $f'(x)$	$-$		$0$	$+$
   $f(x)$	Máx. rel.	$ \searrow $	Mín abs.	$ \nearrow $	Máx. abs.

   É de 10 metros a distância ao primeiro poste do ponto do fio mais próximo do solo.
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3. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f(x) = 15}& \Leftrightarrow &{5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right) = 15} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}} = 3} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}} – 3 = 0}
   \end{array}$$
   Fazendo $1 – 0,1x = y$, temos:
   $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {{e^y} + {e^{ – y}} – 3 = 0}& \Leftrightarrow &{{e^y} \times {e^y} + {e^y} \times {e^{ – y}} – 3 \times {e^y} = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {{e^y}} \right)}^2} – 3 \times {e^y} + 1 = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^y} = \frac{{3 \mp \sqrt {9 – 4} }}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {{e^y} = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}& \vee &{{e^y} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}
   \end{array}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {y = \ln \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}& \vee &{y = \ln \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}
   \end{array}}
   \end{array}$$
   Dado que $1 – 0,1x = y \Leftrightarrow x = 10 + 10y$, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f(x) = 15}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {x = 10 + 10\ln \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}& \vee &{x = 10 + 10\ln \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}
   \end{array}}
   \end{array}$$
   A distância ao primeiro poste dos pontos do fio que se encontrem a 15 metros do solo é ${x_1} = 10 + 10\ln \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2} \approx 0,4$ e ${x_2} = 10 + 10\ln \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \approx 19,6$ metros, respetivamente.
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