Escreve um valor aproximado

Recorrendo à calculadora, podemos indicar \(4,89\) como um valor aproximado, por excesso, a menos de uma centésima, do número \(\sqrt 5 + \sqrt 7 \).

Vamos agora resolver a questão recorrendo ao método dos quadrados perfeitos.

Consideremos para o erro das parcelas a metade do indicado para a soma, isto é, seja \(r = 0,005 = \frac{5}{{1000}} = \frac{1}{{200}}\), donde \(n = 200\).

Assim, temos:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{447}^2} < {{200}^2} \times 5 < {{448}^2}}\\{{{\left( {\frac{{447}}{{200}}} \right)}^2} < 5 < {{\left( {\frac{{448}}{{200}}} \right)}^2}}\\{2,235 < \sqrt 5 < 2,240}\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}{{{529}^2} < {{200}^2} \times 7 < {{530}^2}}\\{{{\left( {\frac{{529}}{{200}}} \right)}^2} < {{200}^2} \times 7 < {{\left( {\frac{{530}}{{200}}} \right)}^2}}\\{2,645 < \sqrt 7 < 2,650}\end{array}}\end{array}\]

Donde se conclui:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{2,235 < \sqrt 5 < 2,240}\\{2,645 < \sqrt 7 < 2,650}\\\hline{4,880 < \sqrt 5 + \sqrt 7 < 4,890}\end{array}\]

Logo, \(\sqrt 5 + \sqrt 7 \approx 4,89\), por excesso, a menos de uma centésima.