Um novo analgésico: o AntiDor
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94
Resolução
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.
A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$
- Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando o resultado na unidade considerada, com aproximação às décimas.
- O mesmo laboratório realizou uma campanha de promoção deste medicamento, baseada no slogan: «AntiDor – Ação rápida e prolongada!»
Numa breve composição, comente o slogan, tendo em conta que:
– para a maioria das dores, o AntiDor só produz efeito se a sua concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue;
– de acordo com uma associação de defesa do consumidor, um bom analgésico deve começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após ter sido tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito).
Resolução
- Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}
{C'(t)}& = &{{{\left( {{t^2}{e^{ – 0,6t}}} \right)}^\prime }} \\
{}& = &{2t \times {e^{ – 0,6t}} – 0,6{t^2}{e^{ – 0,6t}}} \\
{}& = &{\left( {2t – 0,6{t^2}} \right){e^{ – 0,6t}}}
\end{array}\]
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{C'(t) = 0}& \Leftrightarrow &{\left( {2t – 0,6{t^2}} \right){e^{ – 0,6t}} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{2t – 0,6{t^2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{2t\left( {1 – 0,3t} \right) = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}& \vee &{t = \frac{{10}}{3}}
\end{array}}
\end{array}$$
$t$ $0$ ${\frac{{10}}{3}}$ $ + \infty $ $C'(t) = \left( {2t – 0,6{t^2}} \right){e^{ – 0,6t}}$ $0$ $+$ $0$ $-$ ${C(t)}$ $0$ $ \nearrow $ $\frac{{100}}{{9{e^2}}}$ $ \searrow $ $$C\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^2}{e^{ – 2}} = \frac{{100}}{{9{e^2}}} \approx 1,5$$
A concentração máxima é, aproximadamente, 1,5 decigramas por litro de sangue. Este valor de concentração de AntiDor ocorre 3 horas e 20 minutos após a tomada do medicamento.
-
O slogan é enganador, pois a ação do medicamento não é rápida e prolongada. O AntiDor apenas produz efeito ao fim de mais de uma hora e meia, depois de ter sido tomado, o que ultrapassa em muito a meia hora recomendada pela associação de defesa do consumidor. Por outro lado, esse efeito dura menos de quatro horas e meia, ficando aquém das cinco horas preconizadas pela referida associação.
