Considere a curva $C$

Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$

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1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}} = 1}& \Leftrightarrow &{\frac{{3{x^2} + 1 – {x^2} – 3}}{{{x^2} + 3}} = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\frac{{2\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{{x^2} + 3}} = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {\left( {x =  – 1 \vee x = 1} \right)}& \wedge &{{x^2} + 3 \ne 0}
   \end{array}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{x =  – 1 \vee x = 1}
   \end{array}$$
   Os pontos da curva $C$ de ordenada 1 são $A\left( { – 1,1} \right)$ e $B\left( {1,1} \right)$.
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2. Como \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {y’}& = &{{{\left( {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}} \right)}^\prime }} \\
   {}& = &{\frac{{6x\left( {{x^2} + 3} \right) – 2x\left( {3{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \\
   {}& = &{\frac{{6{x^3} + 18x – 6{x^3} – 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \\
   {}& = &{\frac{{16x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}}
   \end{array}\]
   então $$y'( – 1) = \frac{{ – 16}}{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}} =  – 1$$ e $$y'(1) = \frac{{16}}{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}} = 1$$
   As retas pedidas têm declives:  $${m_{{t_1}}} = y'( – 1) =  – 1$$ e $${m_{{t_2}}} = y'(1) = 1$$
   Logo, as suas equações reduzidas são da forma $y =  – x + b$ e $y = x + b$.
   Como os pontos A e B pertencem, respetivamente, a cada uma dessas retas, temos: $1 = 1 + b \Leftrightarrow b = 0$.

   Logo, as retas pedidas são: ${t_1}:y =  – x$ e ${t_2}:y = x$.
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3. Essas duas tangentes intersetam-se na origem do referencial $O\left( {0,0} \right)$, pois $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   {y =  – x} \\
   {y = x}
   \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   {x = 0} \\
   {y = 0}
   \end{array}} \right.$.
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