Capacidade pulmonar de um ser humano
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92
Enunciado
Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$
- Caraterize a função derivada $f’$.
- Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
Calcule para que idade é máxima a capacidade pulmonar e qual é o valor dessa capacidade pulmonar. Apresente os resultados nas unidades consideradas, com aproximação às décimas.
Resolução
Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$
- Como \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{{\ln x – 2}}{x}} \right)}^\prime }} \\
{}& = &{\frac{{\frac{1}{x} \times x – 1 \times \left( {\ln x – 2} \right)}}{{{x^2}}}} \\
{}& = &{\frac{{3 – \ln x}}{{{x^2}}}}
\end{array}\] então $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f’:}&{\left[ {10,100} \right] \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{{3 – \ln x}}{{{x^2}}}}
\end{array}$$
- Temos, portanto, $$g(x) = 100 \times \frac{{\ln x – 2}}{x}$$ e $$g'(x) = 100 \times \frac{{3 – \ln x}}{{{x^2}}}$$ com $x \in \left[ {10,100} \right]$.
$x$ $10$ ${{e^3}}$ $100$ Sinal de $g'(x) = 100 \times \frac{{3 – \ln x}}{{{x^2}}}$ $+$ $+$ $0$ $-$ $-$ Variação de $g$ $ – 20 + 10\ln 10$ $ \nearrow $ $100{e^{ – 3}}$ $ \searrow $ $ – 2 + \ln 100$ $$g(10) = 100 \times \frac{{\ln 10 – 2}}{{10}} = – 20 + 10\ln 10 \approx 3,0$$
$$g({e^3}) = 100 \times \frac{{\ln {e^3} – 2}}{{{e^3}}} = 100 \times \frac{1}{{{e^3}}} = 100{e^{ – 3}} \approx 5,0$$
$$g(100) = 100 \times \frac{{\ln 100 – 2}}{{100}} = – 2 + \ln 100 \approx 2,6$$
$${e^3} \approx 20,1$$A máxima capacidade pulmonar é, aproximadamente, 5,0 litros, atingindo-se cerca dos 20 anos de idade.
