Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

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1. Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {C’\left( t \right)}& = &{{{\left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)} \right]}^\prime }} \\
   {}& = &{\frac{1}{2}\left( { – 2{e^{ – 2t}} + 4{e^{ – 4t}}} \right)} \\
   {}& = &{2{e^{ – 4t}} – {e^{ – 2t}}} \\
   {}& = &{{e^{ – 2t}}\left( {2{e^{ – 2t}} – 1} \right)}
   \end{array}\]
   Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {C'(t) = 0}& \Leftrightarrow &{{e^{ – 2t}}\left( {2{e^{ – 2t}} – 1} \right) = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{2{e^{ – 2t}} – 1 = 0} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{e^{ – 2t}} = \frac{1}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{ – 2t = \ln \frac{1}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{t =  – \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\ln {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\ln \sqrt 2 }
   \end{array}$$
   temos:

   $t$	$0$		${\ln \sqrt 2 }$	$ + \infty $
   $C'(t)$	$+$		$0$	$-$
   $C(t)$	$ \nearrow $		$\frac{1}{8}$	$ \searrow $

   A concentração máxima é 0,125 e ocorre aproximadamente 0,55 ($\ln \sqrt 2  \approx 0,35$) minutos após a substância ter sido injetada na corrente sanguínea.
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2. Após um longo período de tempo, a concentração anula-se, pois \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C(t)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)} \right]} \\
   {}& = &{\frac{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ – 2t}} – \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } {e^{ – 4t}}} \right)} \\
   {}& = &{\frac{1}{2}\left( {0 – 0} \right)} \\
   {}& = &0
   \end{array}\]

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