Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99
Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$
- Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
- O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?
Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$
- Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}
{C’\left( t \right)}& = &{{{\left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)} \right]}^\prime }} \\
{}& = &{\frac{1}{2}\left( { – 2{e^{ – 2t}} + 4{e^{ – 4t}}} \right)} \\
{}& = &{2{e^{ – 4t}} – {e^{ – 2t}}} \\
{}& = &{{e^{ – 2t}}\left( {2{e^{ – 2t}} – 1} \right)}
\end{array}\]
Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{C'(t) = 0}& \Leftrightarrow &{{e^{ – 2t}}\left( {2{e^{ – 2t}} – 1} \right) = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{2{e^{ – 2t}} – 1 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^{ – 2t}} = \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{ – 2t = \ln \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{t = – \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\ln {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\ln \sqrt 2 }
\end{array}$$
temos:$t$ $0$ ${\ln \sqrt 2 }$ $ + \infty $ $C'(t)$ $+$ $0$ $-$ $C(t)$ $ \nearrow $ $\frac{1}{8}$ $ \searrow $ A concentração máxima é 0,125 e ocorre aproximadamente 0,55 ($\ln \sqrt 2 \approx 0,35$) minutos após a substância ter sido injetada na corrente sanguínea.
- Após um longo período de tempo, a concentração anula-se, pois \[\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C(t)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)} \right]} \\
{}& = &{\frac{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{ – 2t}} – \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {e^{ – 4t}}} \right)} \\
{}& = &{\frac{1}{2}\left( {0 – 0} \right)} \\
{}& = &0
\end{array}\]